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1 . 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形K在m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合,就称K具有对称性,并记m为K的一个对称变换.例如,正三角形R在(绕中心O作120°的旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图2所示),所以是R的一个对称变换,考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系,记;又如,R在(关于对称轴所在直线的反射)的作用下仍然与R重合(如图1图3所示),所以也是R的一个对称变换,类似地,记.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群,假如同时满足:
I.,;
II.,;
Ⅲ.,,;
Ⅳ.,,.
对于一个群G,称Ⅲ中的e为群G的单位元,称Ⅳ中的为a在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的代数运算来说作成一个群.
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一,如.对于集合S中的元素,定义一种新运算*,规则如下:,.
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群;
②已知H是群G的一个子群,e,分别是G,H的单位元,,,分别是a在群G,群H中的逆元.猜想e,之间的关系以及,之间的关系,并给出证明;
③写出群S的所有子群.
I.,;
II.,;
Ⅲ.,,;
Ⅳ.,,.
对于一个群G,称Ⅲ中的e为群G的单位元,称Ⅳ中的为a在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的代数运算来说作成一个群.
(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素);
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一,如.对于集合S中的元素,定义一种新运算*,规则如下:,.
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群;
②已知H是群G的一个子群,e,分别是G,H的单位元,,,分别是a在群G,群H中的逆元.猜想e,之间的关系以及,之间的关系,并给出证明;
③写出群S的所有子群.
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2024-03-20更新
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1167次组卷
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5卷引用:安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题
安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题安徽省天域全国名校协作体2024届高三下学期联考(二模)数学试题山东省菏泽市单县第一中学2024届高三下学期3月月考数学试题(已下线)安徽省天域全国名校协作体2024届高三下学期联考(二模)数学试题变式题16-19(已下线)压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2
2 . 群的概念由法国天才数学家伽罗瓦(1811-1832)在19世纪30年代开创,群论虽起源于对代数多项式方程的研究,但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设是一个非空集合,“”是一个适用于中元素的运算,若同时满足以下四个条件,则称对“”构成一个群:(1)封闭性,即若,则存在唯一确定的,使得;(2)结合律成立,即对中任意元素都有;(3)单位元存在,即存在,对任意,满足,则称为单位元;(4)逆元存在,即任意,存在,使得,则称与互为逆元,记作.一般地,可简记作可简记作可简记作,以此类推.正八边形的中心为.以表示恒等变换,即不对正八边形作任何变换;以表示以点为中心,将正八边形逆时针旋转的旋转变换;以表示以所在直线为轴,将正八边形进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换,即表示将正八边形先进行变换再进行变换的变换.以形如,并规定的变换为元素,可组成集合,则对运算“”可构成群,称之为“正八边形的对称变换群”,记作.则以下关于及其元素的说法中,正确的有( )
A.,且 |
B.与互为逆元 |
C.中有无穷多个元素 |
D.中至少存在三个不同的元素,它们的逆元都是其本身 |
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3 . 设A,B是两个非空集合,如果对于集合A中的任意一个元素x,按照某种确定的对应关系,在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应,并且不同的x对应不同的y;同时B中的每一个元素y,都有一个A中的元素x与它对应,则称:为从集合A到集合B的一一对应,并称集合A与B等势,记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系,则称A与B不等势,记作.
例如:对于集合,,存在一一对应关系,因此.
(1)已知集合,,试判断是否成立?请说明理由;
(2)证明:①;
②.
例如:对于集合,,存在一一对应关系,因此.
(1)已知集合,,试判断是否成立?请说明理由;
(2)证明:①;
②.
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2024-04-18更新
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712次组卷
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4卷引用:浙江省台州市2024届高三下学期第二次教学质量评估数学试题
浙江省台州市2024届高三下学期第二次教学质量评估数学试题(已下线)压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总 -1河北省名校联盟2024届高三下学期4月第二次联考数学试题 (已下线)情境10 存在性探索命题
4 . 对于给定的一个位自然数(其中,),称集合为自然数的子列集合,定义如下:{且,使得},比如:当时,.
(1)当时,写出集合;
(2)有限集合的元素个数称为集合的基数,一般用符号来表示.
(ⅰ)已知,试比较大小关系;
(ⅱ)记函数(其中为这个数的一种顺序变换),并将能使取到最小值的记为.当时,求的最小值,并写出所有满足条件的.
(1)当时,写出集合;
(2)有限集合的元素个数称为集合的基数,一般用符号来表示.
(ⅰ)已知,试比较大小关系;
(ⅱ)记函数(其中为这个数的一种顺序变换),并将能使取到最小值的记为.当时,求的最小值,并写出所有满足条件的.
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