1 . 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设
，其中
均为自然数，则满足条件的有序数组
的个数是__________ .（用数字作答）
．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是
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名校
2 . 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当
充分大时，二项随机变量
可以由正态随机变量
来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了
的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的
进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为______ .
（附：若
，则
，
，
）
，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为（附：若
，则，，）
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2023-07-18更新
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276次组卷
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3卷引用：山东省新高考联合质量测评2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题
3 . 如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：
推广到
，请你算一算
的系数______ ，
的系数______ ．（用组合数表示即可）
推广到，请你算一算的系数的系数
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名校
解题方法
4 . 我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为
的
个球的口袋中取出
个球
，共有
种取法.在种取法中，不取
号球有
种取法；取号球有
种取法.所以
.试运用此方法，写出如下等式的结果：
___________ .
的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：
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2022-10-17更新
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1582次组卷
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9卷引用：浙江省强基联盟2022-2023学年高二实验班上学期10月联考数学试题
浙江省强基联盟2022-2023学年高二实验班上学期10月联考数学试题（已下线）专题20 计数原理(讲义)-1辽宁省丹东市五校2022-2023学年高三上学期联考数学试题（已下线）6.2.3-6.2.4 组合 组合数（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）7.3 组合（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三高考适应性测试（二）数学试题（已下线）专题18 排列组合与二项式定理江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题（已下线）专题01 两个计数原理与排列组合（7类压轴题型）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）
5 . 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
.设
，其中均为自然数，则满足条件的有序数组
的个数是___________ .
.设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是
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6 . 公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.后来，柏拉图学派的泰阿泰德证明出正多面体总共只有上述五种.如图所示的就是正八面体图形，从该正八面体的6个顶点中随机抽取2个，则这2个顶点的连线是该正八面体的一条棱的概率是______ .
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2022-06-07更新
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103次组卷
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4卷引用：河南省部分学校2022届高三下学期5月考前最后一卷文科数学试题
名校
7 . 费马大定理又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出．他断言当整数
时，关于x，y，z的方程
没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．甲同学对这个问题很感兴趣，他决定从集合
中的5个自然数中随机选两个数字分别作为方程中n的指数，则方程存在正整数解的概率为____________ ．
时，关于x，y，z的方程没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．甲同学对这个问题很感兴趣，他决定从集合中的5个自然数中随机选两个数字分别作为方程中n的指数，则方程存在正整数解的概率为
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8 . 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是__________ ．
．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是
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2023-04-05更新
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2015次组卷
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8卷引用：江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题专题23计数原理与概率与统计（填空题）辽宁省大连市康考迪亚高级中学2022-2023学年高三二模拟数学试题（已下线）第02讲 6.2.1排列+6.2.2排列数（3）（已下线）模块一专题1《排列与组合》单元检测篇B提升卷（已下线）模块五 专题6 全真拔高模拟6（已下线）6.2.1排列-6.2.2排列数——课堂例题（已下线）模块一 专题7《排列与组合》B提升卷（苏教版）
9 . 1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为 “总统证法”.如图，设∠ECB= 60°，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角 △ CDE中（阴影部分）的概率是________
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10 . 考查等式：
(*)，其中
，
且
.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有件，其中
件是次品，其余为正品.现从中随机取出
件产品，记事件
{取到的件产品中恰有
件次品}，则
，
，1，2，…，.显然
，
，…，
为互斥事件，且
(必然事件)，因此
，所以，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________ .
(*)，其中，且.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有件，其中件是次品，其余为正品.现从中随机取出件产品，记事件{取到的件产品中恰有件次品}，则，，1，2，…，.显然，，…，为互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号
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