1 . （1）设
、
，
，求证：
；
（2）请利用二项式定理证明：
.
、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明：
.
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2020-07-16更新
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701次组卷
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8卷引用：上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题（已下线）对点练69 二项式定理-2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练（已下线）专题2.6 排列组合和二项式定理【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）（已下线）考向38 二项式定理全归纳（十五大经典题型）-3上海市复旦大学附属中学青浦分校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）拓展二：二项式定理15种常见考法归类 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）高二下期末真题精选（易错60题45个考点专练）（高中全部内容）（原卷版）（已下线）第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）-3
解题方法
2 . 甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：
(1)在4次比赛中，求甲队的平均得分；
(2)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；
(3)甲，乙两队得分数据的方差分别记为
，
，试判断与的大小（结论不要求证明）
甲队 | 88 | 91 | 93 | 96 |
乙队 | 89 | 94 | 97 | 92 |
(2)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；
(3)甲，乙两队得分数据的方差分别记为
，，试判断与的大小（结论不要求证明）
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2024-01-29更新
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185次组卷
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2卷引用：北京市石景山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
3 . （1）已知是自然数，
是正整数，且.证明组合数性质：
；
（2）按（1）中的组合数性质公式，有
.请自编一个计数问题，使得
与
为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.
是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：；（2）按（1）中的组合数性质公式，有
.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.
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解题方法
4 . 判断
是否能被8整除？并推理证明．
是否能被8整除？并推理证明．
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名校
解题方法
5 . 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件
，“乙摸到红球”为事件
.
(1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；
(2)判断事件与是否相互独立，并证明.
，“乙摸到红球”为事件.(1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件
发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；(2)判断事件
与是否相互独立，并证明.
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2023-06-29更新
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405次组卷
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3卷引用：江苏省泰州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
名校
6 . 近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：
(1)判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？
(2)假设要计算某事件的概率
，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：
求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为
，被抽到的概率为
；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为
，被抽到的概率为
；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为
，被抽到的概率为
；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为
，被抽到的概率为
．请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．
附：
，其中
．
| 黄色蜂蜡罐 | 褐色蜂蜡罐 | |
| M品种蜜蜂 | 40 | 20 |
| N品种蜜蜂 | 50 | 10 |
(2)假设要计算某事件的概率
，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B．（ⅰ）证明：
；（ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为
，被抽到的概率为；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．附：
，其中． | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2023-05-02更新
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799次组卷
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3卷引用：河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题
解题方法
7 . （1）证明：
；
（2）证明：
能被8整除.
；（2）证明：
能被8整除.
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解题方法
8 . 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
(1)假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.计算某天甲同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率；
(2)某天午餐，甲和乙两名同学准备去A，B这两个餐厅中某一个就餐.设事件M=“甲选择A餐厅就餐”，事件N=“乙选择A餐厅就餐”，
,
.若
，证明：事件M和N相互独立.
选择餐厅情况 |
|
|
|
|
甲 | 30天 | 20天 | 40天 | 10天 |
乙 | 20天 | 25天 | 15天 | 40天 |
午餐，晚餐
(2)某天午餐，甲和乙两名同学准备去A，B这两个餐厅中某一个就餐.设事件M=“甲选择A餐厅就餐”，事件N=“乙选择A餐厅就餐”，
,.若，证明：事件M和N相互独立.
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解题方法
9 . 已知在
的展开式中，第
项的二项式系数与第
项的二项式系数的比为
．
(1)求的值；
(2)求展开式中含
的项的系数；
(3)用二项式定理证明：
能被
整除.
的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为．(1)求
的值；(2)求展开式中含
的项的系数；(3)用二项式定理证明：
能被整除.
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10 . 为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：
(1)若此次调查问卷的得分
服从正态分布
，
近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求
；
(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于的可以用本人手机随机抽取次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：
如果某市民参加调查问卷的得分不低于，记“该市民获得手机话费奖励总金额为
”.
（i）求
时的概率；
（ii）证明：
.
参考数据：若随机变量服从正态分布
，则
，
，
.
人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：组别 |
|
|
|
|
|
频数 |
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|
|
|
|
服从正态分布，近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求；(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于
的可以用本人手机随机抽取次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：话费金额/元 |
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|
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，记“该市民获得手机话费奖励总金额为”.（i）求
时的概率；（ii）证明：
.参考数据：若随机变量
服从正态分布，则，，.
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