1 . 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为
，摸到2分球的概率为
．
(1)若学生甲摸球2次，其总得分记为
，求随机变量的分布列与期望；
(2)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．
，摸到2分球的概率为．(1)若学生甲摸球2次，其总得分记为
，求随机变量的分布列与期望；(2)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．
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2 . 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
(1)计算a，b，c的值；
(2)问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？
附：
，
.
物理方向 | 历史方向 | 总计 | |
男生 | 13 | a | 23 |
女生 | 7 | 20 | 27 |
总计 | b | c | 50 |
(2)问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？
附：
，.
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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3 . （1）计算
；
（2）已知
，求
的值．
；（2）已知
，求的值．
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4 . 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了
，
，
，
，
（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
(2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
(3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
(2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
(3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
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解题方法
5 . 已知
.
(1)当
时，记
的展开式中
的系数为
，求
的值
(2)当的展开式中含
项的系数为12，求展开式中含
项的系数最小时
的值.
.(1)当
时，记的展开式中的系数为，求的值(2)当
的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值.
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6 . 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在
的概率为
，求出表格中，
的值；
(2)若从年龄在
的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
| 年龄段（单位：岁） |  |  | | |  |  |
| 被调查的人数 | 10 | 15 | 20 | | 25 | 5 |
| 赞成的人数 | 6 | 12 | | 20 | 12 | 2 |
的概率为，求出表格中，的值；(2)若从年龄在
的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
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解题方法
7 . 某工厂有三个车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产该通讯器材的优等品率为
，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为
，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的
，
，
．
(1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？
(2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第
个车间生产的概率．
，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的，，．(1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？
(2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第
个车间生产的概率．
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8 . 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试.在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下频率分布直方图和
列联表：
(1)求调试前生产的电池平均持续放电时间，及列联表中
的值；
(2)根据列联表分析，能否有
的把握认为参数调试影响了产品质量？
附：
列联表：
| 产品 | 合格 | 不合格 |
| 调试前 | 24 | 16 |
| 调试后 | | 12 |
(1)求调试前生产的电池平均持续放电时间，及列联表中
的值；(2)根据列联表分析，能否有
的把握认为参数调试影响了产品质量？附：
 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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9 . 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益
（亿元）的数据，统计如下：
(1)计算
的相关系数
，并判断是否可以认为研发投入与经济收益具有较高的线性相关程度：（若
，则线性相关程度一般，若
，则线性相关程度较高）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益．
参考数据：
附：相关系数
，线性回归方程的斜率
，截距
．
（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下：研发投入 亿元 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
经济收益 亿元 | 2.5 | 4 | 6.5 | 9 | 10.5 |
(1)计算
的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与经济收益具有较高的线性相关程度：（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）(2)求出
关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益．参考数据：
附：相关系数
，线性回归方程的斜率，截距．
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10 . 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为
的群落中，辛普森多样性指数
，其中
为第
种生物的个体数，
为总个体数.当
越大时，表明该群落的多样性越高.已知
两个实验水塘的构成如下：
(1)若从中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；
(2)（i）比较的多样性大小；
（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
的群落中，辛普森多样性指数，其中为第种生物的个体数，为总个体数.当越大时，表明该群落的多样性越高.已知两个实验水塘的构成如下：| 绿藻 | 衣藻 | 水绵 | 蓝藻 | 硅藻 | |
 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
 | 12 | 4 | 3 | 6 | 5 |
中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；(2)（i）比较
的多样性大小；（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
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