1 . 已知函数，且存在，使．
(1)证明：是上的单调增函数；
(2)设，，，，其中．证明：；
(3)证明：．

2 . 已知不等式，其中为大于的整数，表示不超过的最大整数．设数列的各项为正，且满足，，，…．
(1)证明：，，…；
(2)猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
(3)试确定一个正整数，使得当时，对任意，都有．

3 . 设是定义在区间上的函数，且满足条件：
①；
②对任意的，都有．
(1)证明：对任意的；
(2)判断函数是否满足题设条件；
(3)在区间上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的，都有，若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

4 . 设，给定数列，其中．求证：
(1)，且；
(2)如果，那么；
(3)如果，那么当时，必有．