1 . 已知集合A为非空数集.定义：
(1)若集合
，直接写出集合S，T；
(2)若集合
且
．求证：
；
(3)若集合
记
为集合A中元素的个数，求的最大值.
(1)若集合
，直接写出集合S，T；(2)若集合
且．求证：；(3)若集合
记为集合A中元素的个数，求的最大值.
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名校
2 . 已知有
个连续正整数元素的有限集合
（
，
），记有序数对
，若对任意
，
，
，
且
，A同时满足下列条件，则称
为元完备数对.
条件①：
；
条件②：
.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.条件①：
；条件②：
.(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
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2024-02-23更新
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250次组卷
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2卷引用：北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷
3 . 已知集合
，若
中元素的个数为
，且存在
，使得
，则称是的
子集．
(1)若
，写出的所有
子集；
(2)若为的子集，且对任意的
，存在
，使得
，求的值．
，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集．(1)若
，写出的所有子集；(2)若
为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值．
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4 . 给定正整数
，设集合
．若对任意，
，
，
两数中至少有一个属于，则称集合具有性质
．
(1)分别判断集合
与
是否具有性质；
(2)若集合
具有性质，求
的值；
(3)若具有性质的集合
中包含6个元素，且
，求集合．
，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．(1)分别判断集合
与是否具有性质；(2)若集合
具有性质，求的值；(3)若具有性质
的集合中包含6个元素，且，求集合．
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5 . 对于正整数集合
（
，）如果去掉其中任意一个元素.
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合
是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.(1)判断集合
是否是“和谐集”，并说明理由；(2)求证：若集合
是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；(3)若集合
是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
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6 . 已知
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于
，定义集合
，设
为集合
中的元素个数，若
时，规定
.
(1)若
，写出
及
的值；
(2)若数列
是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合
，求证：
且
.
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.(1)若
，写出及的值；(2)若数列
是等差数列，求数列的通项公式；(3)设集合
，求证：且.
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名校
7 . 已知集合，其中且
，非空集合
，记
为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素
时，
．
(1)若
，写出所有可能的集合B；
(2)若
，且是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若
，证明：存在非空集合，使得是
的倍数．
，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．(1)若
，写出所有可能的集合B；(2)若
，且是12的倍数，求集合B的个数；(3)若
，证明：存在非空集合，使得是的倍数．
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2024-01-20更新
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284次组卷
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2卷引用：北京市朝阳区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题
解题方法
8 . 设
，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“
无和划分”：
①
；
②
，
，
；
③
，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④
，
，
，必有
，
，
.
(1)若
，
，
，判断A，B，C是否是“
无和划分”，并说明理由.
(2)已知A，B，C是“无和划分”（
）.
（i）证明：对于任意m，
，都有
；
（ii）若存在i，
，使得
，记
.证明：Ω中的所有奇数都属于A.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”：①
；②
，，；③
，且C中的最小元素大于B中的最小元素；④
，，，必有，，.(1)若
，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由.(2)已知A，B，C是“
无和划分”（）.（i）证明：对于任意m，
，都有；（ii）若存在i，
，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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名校
9 . 设无穷等差数列
的公差为
，集合
.则（ ）
的公差为，集合.则（ ）A． 不可能有无数个元素 |
B．当且仅当 时，只有1个元素 |
C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 |
D．当 时，最多有 个元素，且这个元素的和为0 |
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2024-01-04更新
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625次组卷
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2卷引用：北京市大兴区2024届高三上学期期末数学试题
名校
解题方法
10 . 给定正整数
，设集合
．对于集合
中的任意元素
和
，记
．设
，且集合
，对于中任意元素
，若
则称具有性质
．
(1)判断集合
是否具有性质
？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质
的集合，并加以证明．
，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合
是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质
的集合，并加以证明．
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2024-01-25更新
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280次组卷
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4卷引用：北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（已下线）专题04 分类讨论型【讲】【北京版】2（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练
