1 . 已知函数有如下性质：当时，如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)当时，求证：函数在上是减函数；
(2)已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数和函数，若对于任意，总存在，使得成立，求实数的范围.

2 . 已知函数的定义域为A，集合且.
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：是奇函数.

3 . 已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件．

4 . 已知集合，
(1)若，求；
(2)证明：“”的充分必要条件是“”.

5 . 已知命题“，不等式都成立”，若使得命题p为真命题时m的取值集合为A，关于x的不等式的解集为B．
(1)若，当时，证明不等式：．
(2)若，且“”是“”的必要条件，求a的取值范围．

6 . 已知集合，集合.判断集合A与集合B的包含关系，并证明你的结论.

7 . 已知集合，，且.
（1）用反证法证明;
（2）若，求实数的值；

8 . 已知集合，且.
（1）用反证法证明；
（2）若，求实数的值.

9 . 已知集合
(1)当时,求集合中的所有正整数元素;
(2)求证:对于任意的;
(3)若,求证:.