1 . 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,点是第一象限内抛物线上的一点,点的坐标为

（1）若,求点的坐标;
（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;
（3）弦经过点,过弦上一点作直线的垂线,垂足为点,求证:“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.

2 . 设n∈N^*且n≥2，集合
（1）写出集合中的所有元素；
（2）设（，···，），（，···，）∈，证明“=”的充要条件是=（i=1，2，3，···，n）；
（3）设集合={︳（，···，）∈}，求中所有正数之和.

3 . 若有穷数列满足,则称为数列.
(1)写出满足的两个数列;
(2)若,,证明:数列是递增数列的充要条件是;
(3)记,对任意给定的正整数,是否存在的数列,使得?如果存在,求出正整数满足的条件;如果不存在,说明理由.

4 . 设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.

5 . 设证明:的充要条件是.

6 . 如果实系数、、和、、都是非零常数．
（1）设不等式和的解集分别是、，试问是的什么条件？并说明理由．
（2）在实数集中，方程和的解集分别为和，试问是的什么条件？并说明理由．
（3）在复数集中，方程和的解集分别为和，证明：是的充要条件．

7 . 若数列：，满足，则称为数列，并记.
（1）写出所有满足，的数列；
（2）若，，证明：数列是递减数列的充要条件是；
（3）对任意给定的正整数，且，是否存在的数列，使得？如果存在，求出正整数满足的条件；如果不存在，说明理由.

8 . 已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”.设、为方程（）的两个实根，记.
（1）求点的“特征直线”的方程；
（2）已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐近线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点.求证：；
（3）已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、.求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.

9 . 对于定义域为R的函数，若函数是奇函数，则称为正弦奇函数.已知 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，.
（1）已知是正弦奇函数，证明：“为方程的解”的充要条件是“为方程的解”；
（2）若，求的值；
（3）证明：是奇函数.

10 . 若无穷数列满足：只要,必有,则称具有性质.
（1）若具有性质,且,求；
（2）若无穷数列是等差数列,无穷数列是等比数列,,,.判断是否具有性质,并说明理由；
（3）设是无穷数列,已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.