1 . 在数列中，若存在常数，使得任意都有，则称是数列．
（1）若数列是数列，且，，写出所有满足条件的数列的前4项；
（2）已知数列是等比数列，求证：是数列的充要条件是其公比为；
（3）若数列满足，，，设数列的前项和为，是否存在正整数、，使得不等式对一切都成立？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．

2 . 已知数列：，，…，满足：①；②.记.
（1）直接写出的所有可能值；
（2）证明：的充要条件是；
（3）若，求的所有可能值的和.

3 . 设函数有两个不同的不动点，且由确定着数列，那么当且仅当时，.

4 . 若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列.
（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；
（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；
（3）记无穷等差数列的首项为，公差为，证明：“”是“为数列”的充要条件.

5 . 已知无穷数列的首项为，其前项和为，且（），其中为常数且．
（1）设，求数列的通项公式，并求的值；
（2）设，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得．

6 . 求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.

7 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知，求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

8 . 已知，，.
（1）若是的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若是的必要条件，求的取值范围.

9 . （1）已知是实数，集合，.求证：“”是“”的充要条件.
（2）设.用反证法证明命题“若，则或.”

10 . 已知集合，，.
（1）求，：
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.