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1 . 已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使得
对任意的
成立，则称函数是“类周期函数”.
(1)判断函数
，
是否是“类周期函数”，并证明你的结论；
(2)求证：若函数是“类周期函数”，且是偶函数，则是周期函数；
(3)求证：当
时，函数
一定是“类周期函数”.
的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，则称函数是“类周期函数”.(1)判断函数
，是否是“类周期函数”，并证明你的结论；(2)求证：若函数
是“类周期函数”，且是偶函数，则是周期函数；(3)求证：当
时，函数一定是“类周期函数”.
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解题方法
2 . 已知函数是定义在
上的偶函数，且
的图象关于直线
对称．
(1)证明：是周期函数．
(2)若当
时，
，求当
时，的解析式．
是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称．(1)证明：
是周期函数．(2)若当
时，，求当时，的解析式．
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解题方法
3 . 定义在上的非常值函数、
，若对任意实数x、y，均有
，则称为的相关函数.
(1)判断
是否为的相关函数，并说明理由；
(2)若为的相关函数，证明：为奇函数；
(3)在（2）的条件下，如果
，
，当
时，
，且
对所有实数
均成立，求满足要求的最小正数
，并说明理由.
上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数.(1)判断
是否为的相关函数，并说明理由；(2)若
为的相关函数，证明：为奇函数；(3)在（2）的条件下，如果
，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由.
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解题方法
4 . 若存在常数
、
，使得函数对于
同时满足：
，
，则称函数为“
”类函数．
(1)判断函数
是否为“”类函数？如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由；
(2)函数
是“
”类函数，且当
时，
．
①证明：是周期函数，并求出在
上的解析式；
②若，
，求
的最大值和最小值．
、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数．(1)判断函数
是否为“”类函数？如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由；(2)函数
是“”类函数，且当时，．①证明：
是周期函数，并求出在上的解析式；②若
，，求的最大值和最小值．
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5 . 定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有
成立.
（1）当
时，若
， 
，求函数在闭区间
上的值域；
（2）设函数的值域为
，证明：函数为周期函数.
上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.（1）当
时，若， ，求函数在闭区间上的值域；（2）设函数
的值域为，证明：函数为周期函数.
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