1 . 若函数在定义域内的某个区间I上是增函数，而在区间I上是减函数，则称函数在区间I上是“弱增函数”.
(1)判断在区间上是否是“弱增函数”（不必证明）；
(2)若函数（m，b是常数）在区间上是“弱增函数”，求m､b应满足的条件；
(3)已知（k是常数且），若存在区间I使得在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围.

2 . 我们把定义在上，且满足（其中常数，满足，，）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的且时，，试研究似周期函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．

3 . 如果存在非零常数，对于函数定义域上的任意，都有成立，那么称函数为“函数”．
（Ⅰ）若，，试判断函数和是否是“函数”？若是，请证明：若不是，主说明理由：
（Ⅱ）求证：若是单调函数，则它是“函数”；
（Ⅲ）若函数是“函数”，求实数满足的条件．

4 . 已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：。
（1）证明函数在上是“绝对差有界函数”。
（2）证明函数不是上的“绝对差有界函数”。
（3）记集合存在常数，对任意的，有成立，证明集合中的任意函数为“绝对差有界函数”，并判断是否在集合中，如果在，请证明并求的最小值；如果不在，请说明理由。

5 . 若函数的定义域（或）上的值域也为（或）,我们称函数是（或）上的保值函数.如是上的保值函数.
(1)判断函数是上的保值函数?并说明理由；
(2)设二次函数是上的保值函数,求正数的值；
(3)函数是上的保值函数,求实数的值.

6 . 设是定义在上的函数，若存在，使得在单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：．
（1）判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；；
（2）若函数是上的单峰函数，求实数的取值范围；
（3）若函数是区间上的单峰函数，证明：对于任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；试问当满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．

7 . 若定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，则称是“非减函数”.
（1）若是“非减函数”，求的取值范围；
（2）若为周期函数，且为“非减函数”，证明是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在R上、恒大于零的周期函数，是的最大值．函数．证明：“是周期函数”的充要条件“是常值函数”.

8 . 已知函数，的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数.
（1）求在上的限制函数的解析式；
（2）证明：如果在区间上恒为正值，则在上是增函数；[注：如果在区间上恒为负值，则在区间上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用]
（3）利用（2）的结论，求函数在上的单调区间.

9 . 在本题中，我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数：①的定义域和值域都是；②在上是增函数或者减函数.
（1）若在区间上是闭函数，求常数的值；
（2）找出所有形如的函数（都是常数），使其在区间上是闭函数.

10 . 若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.
（Ⅰ）若，，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.