1 . 若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.

2 . 设是定义于上的函数，，讨论的奇偶性；如果在上，试求它在上的表达式．

3 . 若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”．
(1)若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；
(2)设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．）

4 . （1）已知，是偶函数，，是奇函数，且，求的表达式；
（2）已知，是偶函数，，是奇函数，且.求的表达式；
（3）是定义在R上的任意一个函数，请以和为基础构造和，使为偶函数，为奇函数.