解题方法
1 . 若函数
的定义域为R，且
(1)求
的值，并证明函数是偶函数；
(2)判断函数是否为周期函数并说明理由，求出
的值
的定义域为R，且(1)求
的值，并证明函数是偶函数；(2)判断函数
是否为周期函数并说明理由，求出的值
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解题方法
2 . 定义在
上的非常值函数
、
，若对任意实数x、y，均有
，则称为的相关函数.
(1)判断
是否为
的相关函数，并说明理由；
(2)若为的相关函数，证明：为奇函数；
(3)在（2）的条件下，如果
，
，当
时，
，且
对所有实数
均成立，求满足要求的最小正数
，并说明理由.
上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数.(1)判断
是否为的相关函数，并说明理由；(2)若
为的相关函数，证明：为奇函数；(3)在（2）的条件下，如果
，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由.
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3 . 定义域为
的函数，对于给定的非空集合
，
，若对于中的任意元素
，都有
成立，则称函数是“集合上的
函数”.
(1)给定集合
，函数是“集合上的函数”，求证：函数是周期函数；
(2)给定集合
，
，若函数是“集合上的函数”，求实数、
、
所满足的条件；
(3)给定集合
，函数
是集合上的函数，求证：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．
的函数，对于给定的非空集合，，若对于中的任意元素，都有成立，则称函数是“集合上的函数”.(1)给定集合
，函数是“集合上的函数”，求证：函数是周期函数；(2)给定集合
，，若函数是“集合上的函数”，求实数、、所满足的条件；(3)给定集合
，函数是集合上的函数，求证：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．
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解题方法
4 . 已知函数的定义域为
，若存在常数
和，对任意的
，都有
成立，则称函数为“拟线性函数”，其中数组
称为函数的拟合系数.
(1)数组
是否是函数
的拟合系数？
(2)判断函数
是否是“拟线性函数”，并说明理由；
(3)若奇函数
在区间
上单调递增，且的图像关于点
成中心对称（其中
为常数），证明：是“拟线性函数”.
的定义域为，若存在常数和，对任意的，都有成立，则称函数为“拟线性函数”，其中数组称为函数的拟合系数.(1)数组
是否是函数的拟合系数？(2)判断函数
是否是“拟线性函数”，并说明理由；(3)若奇函数
在区间上单调递增，且的图像关于点成中心对称（其中为常数），证明：是“拟线性函数”.
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5 . 定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意
，
恒成立，则称为线周期函数，为的线周期.
（1）下列函数
（其中
表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；
（2）若
为线周期函数，其线周期为，求证：
为周期函数；
（3）若
为线周期函数，求的值.
的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期.（1）下列函数
（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；（2）若
为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；（3）若
为线周期函数，求的值.
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2021-03-24更新
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810次组卷
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10卷引用：北京市海淀区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题
北京市海淀区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题2017-2018北京市中国人民大学附属中学高一期末试题北京市平谷区2019-2020学年高一上学期期末数学试题北京市八一学校2019～2020学年第二学期高一期中考试数学试题上海市青浦高级中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题北京市景山学校远洋分校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）7.3 三角函数的图像和性质（难点）（课堂培优)-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第一册）（已下线）第7章《三角函数》 培优测试卷（一）-2021-2022学年高一数学上册同步培优训练系列（苏教版2019）北京市海淀区北京交通大学附属中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题北京市北京理工大学附属中学2022-2023学年高一下学期数学期中练习试题
名校
6 . 设函数的定义域为.若存在实数
使得
，
均对任意成立，则称为“
型—
函数”.
（1）若是“
型—函数”，求
的值；
（2）若是“
型—函数”，求证：函数
是周期函数；
（3）若是“型—函数”，且在上单调递增，求证：存在正实数、
，使得
对任意成立.
的定义域为.若存在实数使得，均对任意成立，则称为“型—函数”.（1）若
是“型—函数”，求的值；（2）若
是“型—函数”，求证：函数是周期函数；（3）若
是“型—函数”，且在上单调递增，求证：存在正实数、，使得对任意成立.
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2020-09-13更新
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612次组卷
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4卷引用：2020届上海市高三下学期高考预测数学试题
2020届上海市高三下学期高考预测数学试题（已下线）热点02 函数及其性质-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）上海市向明中学2022届高三上学期9月月考数学试题上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题
名校
7 . 记函数
的定义域为D. 如果存在实数、使得
对任意满
足
且
的x恒成立，则称为
函数.
（1）设函数
，试判断是否为函数，并说明理由；
（2）设函数
，其中常数
，证明：是函数；
（3）若
是定义在上的函数，且函数的图象关于直线
（m为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.
的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满足
且的x恒成立，则称为函数.（1）设函数
，试判断是否为函数，并说明理由；（2）设函数
，其中常数，证明：是函数；（3）若
是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（m为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.
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2018-04-12更新
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740次组卷
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2卷引用：上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试题
12-13高一上·北京·期末
解题方法
8 . 函数的定义域关于原点对称，但不包括数
，对定义域中的任意实数，在定义域中存在
使
，且满足以下3个条件.
（1）是定义域中的数，
，则
;
（2）
是一个正的常数）;
（3）当
时，
.
证明：（I）是奇函数；
（II）是周期函数，并求出其周期；
（III）在
内为减函数.
的定义域关于原点对称，但不包括数，对定义域中的任意实数，在定义域中存在使，且满足以下3个条件.（1）
是定义域中的数，，则;（2）
是一个正的常数）;（3）当
时，.证明：（I）
是奇函数；（II）
是周期函数，并求出其周期；（III）
在内为减函数.
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