1 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：是函数的一个“优美区间”；
(2)已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.

2 . 已知函数，
(1)当时，求的单调递减区间；
(2)若有三个零点，且求证：
①
②.

3 . 已知二次函数的图象过点.
(1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式的解集．

4 . 已知函数，，其中.
(1)若，，求的单调区间；
(2)对于给定的实数，若函数存在最大值，
（i）求证：；
（ii）求实数的取值范围（用表示）.

5 . 定义域为R的奇函数满足.
(1)求解析式；
(2)说明在上的单调性，并给出证明；
(3)求不等式的解集.

6 . 已知函数.
（1）当时，求函数在上的最大值，并写出取最大值时相应自变量的值；
（2）写出函数的单调增区间（不需要证明）；
（3）设函数的图像与轴交于不同的两点，与轴交于点，是否存在实数，使得△的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知.
（1）当时，写出的单调区间（不用证明）；
（2）解关于不等式.

8 . 已知函数，
（1）当时，若且，证明：；
（2）当时，若恒成立，求的最大值.

9 . 已知函数.
（1）若，且函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）令，且为偶函数，试判断的单调性，并加以证明.