1 . 2月26日，江苏银行宣布成为百度“文心一言”首批生态合作伙伴．“文心一言”与国外的ChatGPT类似，是一种智能化的对话机器人，可以进行智能对话､回复问题､生成创作内容，还可以在对话过程中不断学习和优化．相比此前的技术，在智能化上实现了一定的突破，其内容回复详细､清唽，且由于其具有很好的互动性，在商业应用上带来了充分的想象空间．某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资､税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元．
(1)求证：；
(2)要使第年年底企业的剩余资金超过21000万元，求整数的最小值．（；）

2 . 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成份，奖励给分别在项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为．资料显示：年诺贝尔奖发放后基金总额约为万美元．设表示第年诺贝尔奖发放后的基金总额（年记为，年记为，，依次类推）．（参考数据：，，）
(1)分别求出、与的关系式；
(2)根据（1）所求的结果归纳出函数的解析式（无需证明）．
(3)若，试求出年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是多少．

3 . 技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.
(1)根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升
(2)已知信号功率，证明：；
(3)现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）

4 . 为给“中国共产党建党100周年”献礼，某军工科研所加大了科研力度，对某类型榴弹炮进行了改良.如图，平面直角坐标系xOy中，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度1千米；把改良后的榴弹炮置于坐标原点，则炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关，榴弹炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求证：该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米；
（2）求该类型榴弹炮的最大射程.

5 . 国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某钻石的价值V(美元)与其重量W(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
（1）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，证明：当时，价值损失的百分率最大.(注：价值损失的百分率=(原有价值-现有价值)/原有价值，在切割过程中的重量损耗忽略不计)

6 . 现行的个税法修正案规定：个税免征额由原来的2000元提高到3500元，并给出了新的个人所得税税率表：

全月应纳税所得额	税率
不超过1500元的部分	3%
超过1500元至4500元的部分	10%
超过4500元至9000元的部分	20%
超过9000元至35000元的部分	25%
……	…

例如某人的月工资收入为5000元，那么他应纳个人所得税为：（元）.
（Ⅰ）若甲的月工资收入为6000元，求甲应纳的个人收的税；
（Ⅱ）设乙的月工资收入为元，应纳个人所得税为元，求关于的函数；
（Ⅲ）若丙某月应纳的个人所得税为1000元，给出丙的月工资收入.（结论不要求证明）

7 . 如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；
（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？
如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？

请给予证明.

8 . 在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径称为到的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为到的“折线距离”．如图所示的路径与路径都是到的“折线路径”.某地有三个居民区分别位于平面内三点，，，现计划在这个平面上某一点处修建一个超市.

(1)请写出点到居民区的“折线距离”的表达式（用表示，不要求证明）；
(2)为了方便居民，请确定点的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小.

9 . 如图所示，公园内有一块边长为的等边形状的三角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上．

（Ⅰ）设，试用表示的函数关系式；
（Ⅱ）如果是灌溉水管，为节约成本希望它最短，的位置应该在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又在哪里？请给予证明．

10 . 已知函数．
（Ⅰ）计算，，及的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；
（Ⅲ）求值：．