1 . 函数．
(1)求和的值，判断的单调性并用定义加以证明；
(2)设是函数的一个零点，当时，，求整数的最大值．

2 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
(1)请证明：函数不存在“黄金区间”；
(2)已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”；
(3)如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值.

3 . 已知函数，其中a为常数.
(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)已知，若函数在上有且仅有一个零点，求a的取值范围.

4 . 已知幂函数在上单调递增．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有零点，求的取值范围．

5 . 已知函数的部分图象如图所示．

（1）写出的解析式．
（2）当时，是否存在实数a使得关于x的方程有两个不等实根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

6 . 已知函数且，为定义在上的奇函数，且，
①求的解析式
②若函数有零点，求的取值范围
③若在上恒成立，求的取值范围．