常见的函数模型（1）——二次、分段函数练习题及答案-2023年高中数学期末-组卷网

23-24高一上·山西晋中·期末

解答题-应用题 | 较易(0.85) |

分段函数模型的应用基本（均值）不等式的应用

1 . 某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数

（万件）与日产量

（万件）之间满足关系式

（其中

为小于6的正常数）.对以往的销售和利润情况进行分析，知道每生产1万件合格品可以盈利4万元，但每生产1万件次品将亏损2万元，该工厂需要作决策定出合适的日产量.
(1)求每天的利润

（万元）与

的函数关系式；
(2)分别在

和

的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润.

2024-01-26更新 | 67次组卷 | 2卷引用：山西省晋中市2023-2024学年高一上学期期末调研数学试题

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22-23高一上·贵州六盘水·期末

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

利用二次函数模型解决实际问题分段函数模型的应用

名校

2 . 心理学家根据高中生心理发展规律，对高中生的学习行为进行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用

表示学生掌握和接受概念的能力（

的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：

），满足以下关系：

(1)上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
(2)有一道数学难题，需要54的接受能力及

的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？

2024-01-21更新 | 115次组卷 | 2卷引用：贵州省六盘水市2022-2023学年高一上学期期末教学质量监测数学试题

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23-24高一上·湖南长沙·期中

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

分段函数模型的应用基本（均值）不等式的应用解分段函数不等式

名校

解题方法

利用基本不等式求最值或值域

3 . 某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果.研发人员通过多次试验发现每投放

克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度

（克/升）随着时间

（分钟）变化的函数关系式近似为

，其中

，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.
(1)若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(2)如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度

（克/升）与时间

（分钟）的函数关系式，其中

表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污.

2023-11-22更新 | 324次组卷 | 2卷引用：湖南省长沙市周南中学20232-2023学年高一下学期期末考试数学试题

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22-23高一上·上海松江·期末

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

分式型函数模型的应用基本（均值）不等式的应用

名校

解题方法

利用基本不等式求最值或值域

4 . 甲、乙两地相距800km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过

，若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成：可变成本是速度

的平方的

倍，固定成本为

元.
(1)将全程运输成本

（元）表示为速度

的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？并求出全程运输成本的最小值.

2023-09-28更新 | 328次组卷 | 6卷引用：上海市松江区华东政法大学附属松江高级中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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22-23高二下·上海·期末

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

分式型函数模型的应用由导数求函数的最值（不含参）成本最小问题

解题方法

利用导数求解函数的最值

5 . 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为

万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当

米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

2023-08-16更新 | 220次组卷 | 4卷引用：上海高二下学期期末真题精选（常考60题41个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）

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22-23高一下·黑龙江大庆·阶段练习

解答题-问答题 | 较易(0.85) |

分式型函数模型的应用

名校

6 . 某游泳馆拟建一座平面图形为矩形（如图所示）且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚忽略不计），当泳池的长设计为x米时，可使总造价

最低，求

．

2023-08-11更新 | 166次组卷 | 2卷引用：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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22-23高一下·贵州毕节·期末

解答题-应用题 | 较易(0.85) |

分式型函数模型的应用解不含参数的一元二次不等式

7 . 某地区上年度水价为3.8元/吨，年用水量为

吨，本年度计划将水价下降到3.55元/吨至3.75元/吨之间，而用户期望水价为3.4元/吨.经测算，下调水价后新增用水量和实际水价与用户的期望水价的差成反比（比例系数为

）.该地区的用水成本价为3.3元/吨.
(1)写出本年度水价下调后水务部门的收益

（单位：元）关于实际水价

（单位：元/吨）的函数解析式；（收益

实际水量

（实际水价

成本价））
(2)设

，当水价最低定为多少时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长

？

2023-08-02更新 | 191次组卷 | 2卷引用：贵州省毕节市2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

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22-23高二下·福建三明·期末

解答题-应用题 | 较易(0.85) |

利用二次函数模型解决实际问题非线性回归

8 . 近几年，电商的蓬勃发展带动了快递行业的迅速增长.为了获得更大的利润，某快递公司在

城市的网点对“一天中收发一件块递的平均成本

（单位：元）与当天揽收的快递件数

（单位：千件）之间的关系”进行调查研究，得到相关数据如下表：

每天揽收快递件数（千件）	2	3	4	5	8
每件快递的平均成本（元）	5.6	4.8	4.4	4.3	4.1

根据以上数据，技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型，得到两个经验回归方程：方程甲：

，方程乙：

．
(1)为了评价两种模型的拟合效果，完成以下问题：
①根据上表数据和相应回归方程，将以下表格填写完整（结果保留一位小数）：

每天揽收快递件数x_i/千件		2	3	4	5	8
每件快递的平均成本y_i/元		5.6	4.8	4.4	4.3	4.1
模型甲	预报值	5.2	5	4.8
模型甲	随机误差	－0.4	0.2	0.4
模型乙	预报值	5.5	4.8	4.5
模型乙	随机误差	－0.1	0	0.1

（备注：

称为相应于点

的随机误差）
②分别计算模型甲与模型乙的随机误差平方和

，

并依此判断哪个模型的拟合效果更好．
(2)已知该快递网点每天能揽收的快递件数

（单位：千件）与揽收一件快递的平均价格

（单位：元）之间的关系是

，根据（1）中拟合效果较好的模型建立的回归方程解决以下问题：
①若一天揽收快递6千件，则当天总利润的预报值是多少？
②为使每天获得的总利润最高，该快递网点应该将揽收一件快递的平均价格定为多少？（备注：利润＝价格－成本）

2023-07-27更新 | 210次组卷 | 2卷引用：福建省三明市2022-2023学年高二下学期7月期末数学试题

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22-23高二下·江西南昌·期末

解答题-作图题 | 适中(0.65) |

求二次函数的值域或最值利用二次函数模型解决实际问题分段函数模型的应用基本不等式求和的最小值

名校

解题方法

单调性法求函数值域利用基本不等式求最值或值域

9 . 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工

万件该品牌服装，需另投入

万元，且

根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.
(1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式.
(2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.