2024高三·全国·专题练习
解题方法
1 . 环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：
)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型
，且
.已知第一个月该植物的生长面积为
，第三个月该植物的生长面积为
.
(1)求证：若
，则
；
(2)若该植物的生长面积达到100以上，则至少要经过多少个月？
)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型，且.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植物的生长面积为.(1)求证：若
，则；(2)若该植物的生长面积达到100
以上，则至少要经过多少个月？
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解题方法
2 . 伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出．伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用．伯努利不等式的一种常见形式为：当
时，
，当且仅当
或
时取等号．
(1)假设某地区现有人口
万，且人口的年平均增长率为
，以此增长率为依据，试判断
年后该地区人口的估计值是否能超过
万？
(2)数学上常用
表示
，
，
，
的乘积，
．
①证明：
；
②数列
，
满足：
，
，证明：
．
时，，当且仅当或时取等号．(1)假设某地区现有人口
万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断年后该地区人口的估计值是否能超过万？(2)数学上常用
表示，，，的乘积，．①证明：
；②数列
，满足：，，证明：．
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解题方法
3 . 老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重量增长率
，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为
个单位，含氧量y与年份x的函数模型为
，当含氧量少于
个单位，鱼虽然依然生长，但会损失
的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.
(1)试求出含氧量模型函数关系式；
(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；
(3)求出第
年鱼的总重量
与第n年鱼的总重量的关系式
不用证明关系式，n为整数
，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为个单位，含氧量y与年份x的函数模型为，当含氧量少于个单位，鱼虽然依然生长，但会损失的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.(1)试求出含氧量模型函数关系式；
(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；
(3)求出第
年鱼的总重量与第n年鱼的总重量的关系式不用证明关系式，n为整数，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
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解题方法
4 . 2月26日，江苏银行宣布成为百度“文心一言”首批生态合作伙伴．“文心一言”与国外的ChatGPT类似，是一种智能化的对话机器人，可以进行智能对话､回复问题､生成创作内容，还可以在对话过程中不断学习和优化．相比此前的技术，在智能化上实现了一定的突破，其内容回复详细､清唽，且由于其具有很好的互动性，在商业应用上带来了充分的想象空间．某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了
，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资､税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第
年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为
万元．
(1)求证：
；
(2)要使第
年年底企业的剩余资金超过21000万元，求整数
的最小值．（
；
）
，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资､税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元．(1)求证：
；(2)要使第
年年底企业的剩余资金超过21000万元，求整数的最小值．（；）
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5 . 
技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：
，其中：
（单位：
）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，
单位；
）是信道的带宽，
单位：
）是平均信号功率，
（单位：）是平均噪声功率，
叫做信噪比.
(1)根据香农公式，如果不改变带宽
，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升
(2)已知信号功率
，证明：
；
(3)现有3个并行的信道
，它们的信号功率分别为
，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）
技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.(1)根据香农公式，如果不改变带宽
，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升(2)已知信号功率
，证明：；(3)现有3个并行的信道
，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）
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2023-03-16更新
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252次组卷
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6卷引用：北京市丰台区普通高中2020-2021学年数学合格性调研试卷
北京市丰台区普通高中2020-2021学年数学合格性调研试卷（已下线）第12课时 课后 函数的应用（已下线）专题9.2 期中押题检测卷（考试范围：第1-4章）2（中）-【满分计划】2021-2022学年高一数学阶段性复习测试卷（苏教版2019必修第一册）福建省福鼎市第六中学2022-2023学年高三上学期12月月考试数学试题湖南省名校联合体2022-2023学年高一下学期第一次联考数学试题福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题
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6 . 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成份，奖励给分别在项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为
．资料显示：
年诺贝尔奖发放后基金总额约为
万美元．设
表示第
年诺贝尔奖发放后的基金总额（年记为
，
年记为
，，依次类推）．（参考数据：
，
，
）
(1)分别求出
、
与的关系式；
(2)根据（1）所求的结果归纳出函数的解析式（无需证明）．
(3)若
，试求出
年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是多少．
份，奖励给分别在项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为．资料显示：年诺贝尔奖发放后基金总额约为万美元．设表示第年诺贝尔奖发放后的基金总额（年记为，年记为，，依次类推）．（参考数据：，，）(1)分别求出
、与的关系式；(2)根据（1）所求的结果归纳出函数
的解析式（无需证明）．(3)若
，试求出年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是多少．
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7 . 股票是股份公司发给股东证明其所入股份的一种有价证券，它可以作为买卖对象和抵押品，是资金市场主要的长期信用工具之一.股票在公开市场交易时可涨可跌，在我国上海证券交易所交易的主板股票每个交易日上涨和下跌都不超过10%，当日上涨10%称为涨停，当日下跌10%称为跌停.某日贵州茅台每股的价格是1500元，若贵州茅台在1500元的价格上先涨停2天再跌停2天，则4天后每股的价格是______ 元.
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2020-12-13更新
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168次组卷
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5卷引用：湖南省湖湘教育三新探索协作体2020-2021学年高一上学期11月联考数学试题
湖南省湖湘教育三新探索协作体2020-2021学年高一上学期11月联考数学试题浙江省嘉兴市第五高级中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题（已下线）高一数学上学期期中【全真模拟卷01】（测试范围：必修一：前三章）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）浙江省嘉兴市第五高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题
