1 . 已知函数．
(1)证明：时，恒成立；
(2)证明：（且）．

2 . 已知函数，.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围.

3 . 已知正项数列的前项和为，且.
(1)求和的值，并求出数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)设，求的值（其中表示不超过的最大整数）.

4 . 已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设函数的导函数为，若，证明：．

5 . 设整数，且，函数．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，证明：．

6 . 已知函数，且有两个相异零点．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明：．

7 . 已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若存在两个不同的零点，，且.
（i）证明：；
（ii）证明：.

8 . 已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)若，，求证：．

9 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，e为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：当时，；
(2)证明：对任意的正整数；
(3)证明：e是无理数．

10 . 已知函数，．
(1)证明：．
(2)若恒成立，求实数的取值范围．