名校
1 . 如果函数
的导数
，可记为
．若
，则
表示曲线
，直线
以及
轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若
，且
，求；
(2)已知
，证明：
，并解释其几何意义；
(3)证明：
，
．
的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．(1)若
，且，求；(2)已知
，证明：，并解释其几何意义；(3)证明：
，．
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2024-02-20更新
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2325次组卷
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7卷引用：湖北省十一校2024届高三联考考后提升数学模拟训练一
湖北省十一校2024届高三联考考后提升数学模拟训练一湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第三次高考模拟数学试题重庆市第八中学校2023-2024学年高三下学期入学适应性考试数学试题（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编（已下线）第5套 新高考全真模拟卷（二模重组）（已下线）压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2
2 . 我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积
，其中
，
．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线
可以表示为
，曲线
可以表示为
，那么阴影区域的面积
，其中
．
在区间
与
的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间
与
的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设
．求
的值；
上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为
，求切线方程；
(3)正项数列
是以公差为d（d为常数，
）的等差数列，
，两条抛物线
，
记它们交点的横坐标的绝对值为
，两条抛物线围成的封闭图形的面积为
，求证：
．
，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．
在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；
上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；(3)正项数列
是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．
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名校
3 . Monte-Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面利用Monte-Carlo方法来估算定积分
．考虑到等于由曲线
，轴，直线
所围成的区域
的面积，如图，在外作一个边长为1正方形OABC．在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为
，此即为定积分的估计值．现向正方形OABC中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．
（1）求X的期望
和方差
；
（2）求用以上方法估算定积分时，的估计值与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率．
附表：
．考虑到等于由曲线，轴，直线所围成的区域的面积，如图，在外作一个边长为1正方形OABC．在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分的估计值．现向正方形OABC中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．（1）求X的期望
和方差；（2）求用以上方法估算定积分
时，的估计值与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率．附表：
| 1899 | 1900 | 1901 | 2099 | 2100 | 2101 |
| 0.0058 | 0.0062 | 0.0067 | 0.9933 | 0.9938 | 0.9942 |
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名校
4 . 已知函数
.
（1）当
时，计算定积分
；
（2）求
的单调区间和极值.
.（1）当
时，计算定积分 ；（2）求
的单调区间和极值.
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2017-10-25更新
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700次组卷
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3卷引用：湖北省枣阳市高级中学2018届高三年级上学期十月份月考理科数学试题
5 . 给定可导函数
，如果存在
，使得
成立，则称
为函数在区间
上的“平均值点”.
(1)函数
在区间
上的平均值点为；
(2)如果函数
在区间
上有两个“平均值点”，则实数
的取值范围是.
，如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“平均值点”.(1)函数
在区间上的平均值点为；(2)如果函数
在区间上有两个“平均值点”，则实数的取值范围是.
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