1 . 定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
（1）设，求证：；
（2）已知且，求其“相伴向量”的模；
（3）已知为圆上一点，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求的取值范围.

2 . 设A,B,C是的3个内角，求证：.

3 . 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
；
；
．
（1）求出这个常数；
（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．

4 . 已知函数.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）证明：.

5 . 求证：.

6 . 定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.
（1）已知（），求证：，并求函数的“相伴向量”模的取值范围；
（2）已知点（）满足，向量的 “相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围.

7 . 设为中的对边.求证：成等差数列的充要条件是：.

8 . 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
，
，
，
，
.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

9 . 求证：.

10 . 已知：，，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明你的结论