1 . 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如下图所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为2，点P在圆O上运动，则的最小值为______.

2 . 点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为______.

3 . 如图，已知直角三角形△中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，若与圆的切点为，则__________，则的取值范围为____________.

4 . 如图，已知在边长为2的正三角形中，点P，Q，R分别在边，，上，且，则的最大值为__________.

6 . 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________．

7 . 如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为，设，分别为线段，上的动点，且，，则的取值范围是______________.

8 . 已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________.

9 . 在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为__________．

10 . 已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______．