1 . 已知、是椭圆上两动点，为原点，定点，向量，在向量方向上的投影分别为，，且，动点满足．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)记点，，求证：无论动点在轨迹上如何运动，恒为一个常数．

2 . 对平面直角坐标系，保持轴不变，将轴绕原点顺时针旋转后形成的新坐标系称为斜坐标系.原平面内任意一点，经过上述变化后在斜坐标系的对应点为.对于如图所示的，设点在斜坐标系中的对应点分别为点.已知线段上存在一点，分所成的比为.

(1)求的面积；
(2)已知，且，求实数的取值范围.

3 . 已知下列五个运算：
①向量的模；
②化简；
③化简；
④函数的零点个数；
⑤无穷等比数列、、、、、，各项的和．其结果等于的运算分别是________．

4 . 在中，，，，为边中点．

（1）求的值；
（2）若点满足，求的最小值；
（3）若点在的角平分线上，且满足，若，求的取值范围.