1 . 设数列的前n项和为，已知，（）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列满足：，．
① 求数列的通项公式；
② 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

2 . 已知正项数列的前项和为，是与的等比中项.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，且，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若，求数列的前项和.

3 . 给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列的一个阶子数列．
已知数列的通项公式为（为常数），等差数列是
数列的一个3阶子数列．
（1）求的值；
（2）等差数列是的一个阶子数列，且
（为常数，，求证：；
（3）等比数列是的一个阶子数列，
求证：．

4 . 设为数列的前项和，对任意的，都有（为正常数）.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）数列满足，，求数列的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和.

5 . 设数列满足，其中为实数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，，记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有.

6 . 已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 证明.

7 . 设数列满足且
(Ⅰ)求,并求数列的通项公式；
(Ⅱ)对一切，证明成立；
(Ⅲ)记数列的前项和分别是，证明

8 . 在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为．
（Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）
（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为． 证明：对任意,,有