1 . 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有
个小球，第二层有
个小球，第三层有
个小球……依此类推，最底层有 
个小球，共有
层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 
若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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2 . 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到
，然后分叉向
与
方向继续繁殖，其中
，且
与
关于
所在直线对称，
….若
，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（
，单位：
）至少为（ ）
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ）
| A．6 | B．7 | C．8 | D．9 |
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2024-04-09更新
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1324次组卷
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3卷引用：北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）数学试题
3 . 设数列
（
）的各项均为正整数，且
.若对任意
，存在正整数
使得
，则称数列
具有性质
.
（1）判断数列
与数列
是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且
，
，
，求的最小值；
（3）若集合
，且
（任意
，
）.求证：存在
，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.（1）判断数列
与数列是否具有性质；（只需写出结论）（2）若数列
具有性质，且，，，求的最小值；（3）若集合
，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
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2020-05-11更新
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1209次组卷
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8卷引用：2020届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题
2020届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题北京师范大学第二附属中学2022届高三三模数学试题北京市2023届高三数学模拟试题北京市顺义区第一中学2023届高三高考考前适应性检测数学试题上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（四）数学试题北京卷专题18数列（解答题）（已下线）北京市海淀区2023届高三上学期期末练习数学试题变式题16-21（已下线）数列的综合应用
4 . 在等差数列
中，a2=8，且a3+a5=4a2．
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列
满足
，求数列{bn-an}的前n项和
．
中，a2=8，且a3+a5=4a2．（Ⅰ）求等差数列
的通项公式；（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列
满足，求数列{bn-an}的前n项和．
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名校
5 . 如图，设是由
个实数组成的行列的数表，其中
表示位于第
行第
列的实数，且
.
定义
为第s行与第t行的积. 若对于任意
（
），都有
，则称数表为完美数表.
（Ⅰ）当
时，试写出一个符合条件的完美数表；
（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的
和
，都有
，证明：
.
是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且. |  |  |  |
 |  | |  |
 | | | |
 |  | |  |
为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.（Ⅰ）当
时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅲ）设
为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.
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2019-04-11更新
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932次组卷
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3卷引用：【区级联考】北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学理试题
名校
6 . 天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______ ；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______ ．
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2019-03-31更新
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1096次组卷
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11卷引用：【区级联考】北京市朝阳区2019届高三第一次（3月）综合练习（一模）数学理试题
【区级联考】北京市朝阳区2019届高三第一次（3月）综合练习（一模）数学理试题北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习数学（理）试题【区级联考】北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习数学（文）试题甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学（理）试题北京市第三十五中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）第四章 数列测试 A基础练（已下线）【新教材精创】第五章-复习与小结 -A基础练北师大版(2019) 选修第二册 名师精选 第四单元 数列在日常经济生活中的应用福建省莆田砺志学校2021-2022学年高二上学期线上教学学情摸底考试数学试题人教B版(2019) 选修第三册 名师精选 第四单元 数列求和、数列的应用（已下线）专题6.5 数列的综合应用（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》
名校
7 . 无穷数列满足：
为正整数，且对任意正整数，
为前项，
，
，
中等于的项的个数.
（Ⅰ）若
，请写出数列的前7项；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数
，必存在
，使得
；
（Ⅲ）求证:“”是“存在
，当
时，恒有
成立”的充要条件．
满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，中等于的项的个数. （Ⅰ）若
，请写出数列的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数
，必存在，使得；（Ⅲ）求证:“
”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件．
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2018-01-19更新
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742次组卷
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3卷引用：北京市第八中学2023-2024学年高三下学期零模练习数学试题
8 . 已知甲、乙两个容器，甲容器容量为
，装满纯酒精，乙容器容量为
，其中装有体积为
的水（
：单位：
）.现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过
次操作之后，乙容器中含有纯酒精（单位：），下列关于数列
的说法正确的是
，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水（：单位：）.现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精（单位：），下列关于数列的说法正确的是A．当 时，数列有最大值 |
B．设 ，则数列 为递减数列 |
C．对任意的 ，始终有 |
D．对任意的，都有 |
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2017-05-07更新
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912次组卷
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3卷引用：北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学文试题
北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学文试题北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）文数试题（已下线）第4章 数列 单元综合检测（难点）（单元培优）-2021-2022学年高二数学课后培优练（苏教版2019选择性必修第一册）
9 . 设数列A： ， ,…
(
).如果对小于(
)的每个正整数
都有
＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“
是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在使得>，则
；
（3）证明：若数列A满足-
≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.
， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出
的所有元素；（2）证明：若数列A中存在
使得>，则 ；（3）证明：若数列A满足
- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.
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2016-12-04更新
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3270次组卷
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22卷引用：北京师范大学第三附属中学2022届高三下学期5月模拟练习数学试题
北京师范大学第三附属中学2022届高三下学期5月模拟练习数学试题北京师范大学第三附属中学2022届高三下学期5月高考数学模拟试题北京市育英学校2023届高三6月统一练习（一） 数学试题2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）北京市西城区北京师范大学第二附属中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题北京市第十三中学2021届高三上学期期中考试数学试题北京第五十七中学2020-2021学年高二上学期期末试题上海实验学校2022届高三冲刺模拟4数学试题（已下线）2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷参考版）北京市玉渊潭中学2023届高三下学期开学摸底数学试题北京市育英学校(四年制高三)2021-2022学年高二下学期期中练习数学试题北京十年真题专题06数列（已下线）《2018届优等生百日闯关系列》【江苏版】专题二 第五关 以子数列或生成数列为背景的解答题（已下线）《2018届优等生百日闯关系列》【江苏版】专题二 第六关 以新定义数列为背景的解答题上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题上海市市东中学2016-2017学年高三下学期第一次测验数学试题（已下线）专题14 数列综合-五年（2016-2020）高考数学（文）真题分项（已下线）考点17 数列的综合运用-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题北京名校2023届高三二轮复习 专题三 集合与数列 第4讲 创新自我测试（已下线）专题16 数列新定义题的解法 微点2 数列新定义题的解法（二）（已下线）数列的综合应用（已下线）专题21 数列解答题（理科）-2
名校
10 . 若实数数列
满足
，则称数列为“
数列”．
（1）若数列是数列，且
，求
，
的值；
（2）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
（3）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前
项中值为负数的项的个数为
，求所有可能取值．
满足，则称数列为“数列”．（1）若数列
是数列，且，求，的值；（2）求证：若数列
是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（3）若数列
为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值．
您最近一年使用：0次
2016-12-04更新
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861次组卷
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3卷引用：北京市八一学校2022届高三一模模拟练习数学试题
