1 . 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．

2 . 已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则________.

3 . 如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则__________．

4 . 在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差，现给出以下命题：
①若数列满足，则该数列不是比等差数列；
②若数列满足，则该数列是比等差数列，且比公差；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；
④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．
其中所有正确的序号是_________；

5 . 在等差数列中，有，其中分别是的前项和，用类比推理的方法，在等比数列中，有________.

6 . 已知等比数列的首项是1，公比为3，等差数列的首项是，公差为1，把中的各项按如下规则依次插入的每相邻两项之间，构成新数列：，，，，，，，，，，…，即在和两项之间依次插入中个项，则__________．（用数字作答）

7 . 如图,一个粒子的起始位置为原点,在第一象限内于两正半轴上运动,第一秒运动到(0,1),而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动,且每秒移动一个单位长度,如图所示,经过秒时移动的位置设为,那么经过2019秒时,这个粒子所处的位置的坐标是______.

8 . 已知三个数 ， ，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项，则能使不等式 成立的自然数 的最大值为 __________．

9 . 把正整数按一定的规则排成了如下图所示的三角形数表．设a_ij(i，j∈N^*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a₄₂＝8.若a_ij＝2009，则i与j的和为_________.