1 . 科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定.如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的的所有不同值的和为___________.

2 . 已知正项数列的前n项和为，．
(1)计算，，，，根据计算结果猜想的表达式．
(2)用数学归纳法证明你的结论．

3 . 已知数列满足，．
(1)计算：，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；
(2)若，，求k的取值范围．

4 . 已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．

5 . 设数列满足，.
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求数列的前n项和．

6 . 在数列，中，，，且，.
（1）求，的值；
（2）求的通项公式；
（3）设，记的前n项和为，证明：.

7 . 已知数列.
（1）求出；
（2）判断数列的单调性并给出证明.

8 . 已知数列满足,.
（1）计算的值,猜想数列的通项公式;
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

9 . 已知数列满足：，且．
(1)求，，的值，并猜想的通项公式；
(2)试用数学归纳法证明上述猜想．

10 . 在数列中，，，求、、的值，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．