名校
1 . 已知数列
满足:
，且对任意
，都有
．
(1)直接写出
的值;
(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
满足:，且对任意，都有．(1)直接写出
的值;(2)猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．
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2 . 已知数列中，
且
.
(1)求数列的第2，3，4项；
(2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
中，且.(1)求数列
的第2，3，4项；(2)根据（1）的计算结果，猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明.
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3 . 给定正整数
，若项数为
的正实数数列满足：
，且
，称数列为“
数列”．如果“数列”存在
分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个项数列为“
数列”．
(1)判断数列：2，2，2，2，2和数列
：1，2，3，4，5是否为“数列”；
(2)正数数列满足：
．证明：数列是“数列”，但不是“数列”；
(3)若任意的项“数列”均为“数列”，求出所有满足条件的整数．
，若项数为的正实数数列满足：，且，称数列为“数列”．如果“数列”存在分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个项数列为“数列”．(1)判断数列
：2，2，2，2，2和数列：1，2，3，4，5是否为“数列”；(2)正数数列
满足：．证明：数列是“数列”，但不是“数列”；(3)若任意的
项“数列”均为“数列”，求出所有满足条件的整数．
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4 . 已知是无穷数列，
，
，且对于中任意两项
，
，在中都存在一项
，使得
.
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；
(3)若
，求数列的通项公式.
是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得.(1)若
，，求；(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；(3)若
，求数列的通项公式.
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5 . 已知数列
满足，
，
，且
．记集合
．
(1)若
，求集合中元素的个数；
(2)①求证：
，
．
②若集合中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；
(3)求集合中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．
满足，，，且．记集合．(1)若
，求集合中元素的个数；(2)①求证：
，．②若集合
中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；(3)求集合
中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．
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解题方法
6 . 已知数列是无穷数列，
.
(1)若，
，写出
，
的值；
(2)已知数列中
，求证：数列中有无穷项为
；
(3)已知数列中任何一项都不等于，且
，记
，其中
为，
中较大的数. 求证：数列是递减数列.
是无穷数列，.(1)若
，，写出，的值；(2)已知数列
中，求证：数列中有无穷项为；(3)已知数列
中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.
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7 . 已知数列的首项，其中
，
，令集合
．
(1)若
，写出集合A中的所有的元素；
(2)若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
(3)求证：
．
的首项，其中，，令集合．(1)若
，写出集合A中的所有的元素；(2)若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；(3)求证：
．
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解题方法
8 . 若数列满足：
，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：
，且
，则称为的伴随数列.
(1)若X数列中，
，
，
，写出其伴随数列中
的值；
(2)若为一个X数列，为的伴随数列.
①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②求
的最大值.
满足：，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.(1)若X数列
中，，，，写出其伴随数列中的值；(2)若
为一个X数列，为的伴随数列. ①证明：“
为常数列”是“为等比数列”的充要条件；②求
的最大值.
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2023-08-16更新
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503次组卷
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5卷引用：北京大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末练习数学试题
北京大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末练习数学试题北京市第五中学2024届高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编（已下线）第4章 数列单元检测（提优卷）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（苏教版2019选择性必修第一册）
9 . 无穷数列满足：
，且当
时有：
（表示最大项）．
(1)若
，求的所有可能值；
(2)若存在正整数T，对
，有
，证明：
是数列各项中的最大项；
(3)在（2）的条件下，
，试求m的所有取值的个数．
满足：，且当时有：（表示最大项）．(1)若
，求的所有可能值；(2)若存在正整数T，对
，有，证明：是数列各项中的最大项；(3)在（2）的条件下，
，试求m的所有取值的个数．
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10 . 已知数列的通项公式为
，记该数列的前n项和为
．
(1)计算
，
，
，
的值；
(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．
的通项公式为，记该数列的前n项和为．(1)计算
，，，的值；(2)根据计算结果，猜想
的表达式，并进行证明．
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