1 . 寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天，他跑步的概率为，跳绳的概率为．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第天不下雪的概率为．
(1)求，，的值，并证明是等比数列；
(2)求小明寒假第天通过运动锻炼消耗能量的期望．

2 . 某实验室要在小白鼠身上做连续活体实验.因实验需要，每天晩上做实验消耗其脂肪10克，其脂肪每天增长率为（从前一次实验后到后一次实验前）.设为第天晩上实验后该小白鼠的脂肪含量.第一天晩上实验前测量其脂肪含量为90克，则.
(1)计算的值；
(2)写出的通项公式，并证明你的结论；
(3)为保证实验的有效性，实验前小白鼠的体内脂肪含量应不少于60克.那么该小白鼠某晩是否会因脂肪含量不够而无法进行有效实验吗？若会，是在第几天晩上？若不会，请说明理由.

3 . 如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤，得到，则__.

4 . 投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或6时得2分，掷得的点数为2，3，4，5时得1分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；
(1)设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布与期望；
(2)设最终得分为n的概率为，证明：为等比数列，并求数列的通项公式；

5 . 记为数列的前项和，已知，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)若是等差数列，且，，求集合中元素的个数.

6 . 某人在工作一段时间后制定了如下理财计划：将自己第一年末的总资产均分成两半，一半进行再投资，获取资金增值，另一半留在身边作为备用金，并支付生活费开支，第二年末将当年固定收入，投资的本金和收益与身边备用金的余额合并，并按加上理财计划进行再分配，以此类推，已知投资部分每年获得4%的收益，生活费开支需要每年万元.
(1)若此人每一年末总资产为万元，每年有固定收入万元，到第年末，此人的总资产为，试证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)若此人岁退休时有总资产万元，此后每年固定收入为元，按照他的理财计划，那么在他第几岁那一年内，将会遇到个人财政赤字（即当年的备用金低于当年的生活费开支）

7 . 在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：①第一年的年薪为万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元）

8 . 数列满足条件：若存在正整数和常数，使得对任意恒成立，则称数列具有性质，也称为类周期数列．
(1)判断数列是否具有性质并说明理由；
(2)数列具有性质，且，前4项成等差，求的前100项和；
(3)若数列既是类周期2数列，也是类周期3数列，求证：为等比数列．

9 . 设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值；
(3)当时，求证：.

10 . 已知数列满足.
(1)当时，求证：数列不可能是常数列；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)当时，令，判断对任意，是否为正整数，请说明理由.