1 . 如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤，得到，则__.

2 . 投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或6时得2分，掷得的点数为2，3，4，5时得1分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；
(1)设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布与期望；
(2)设最终得分为n的概率为，证明：为等比数列，并求数列的通项公式；

3 . 记为数列的前项和，已知，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)若是等差数列，且，，求集合中元素的个数.

4 . 在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：①第一年的年薪为万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元）

5 . 数列满足条件：若存在正整数和常数，使得对任意恒成立，则称数列具有性质，也称为类周期数列．
(1)判断数列是否具有性质并说明理由；
(2)数列具有性质，且，前4项成等差，求的前100项和；
(3)若数列既是类周期2数列，也是类周期3数列，求证：为等比数列．

6 . 设数列的前项和为，且，数列满足，其中.
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值；
(3)当时，求证：.

7 . 已知数列满足.
(1)当时，求证：数列不可能是常数列；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)当时，令，判断对任意，是否为正整数，请说明理由.