1 . 已知数列，是其前项的和，且满足
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求的表达式．

2 . 已知数列{}的前n项和为，，
（1）证明：数列{+3}是等比数列，并求{}的通项公式；
（2）对,设,求；
（3）设求出.

3 . 对于数列：、、、、，若不改变，仅改变、、、中部分项的符号（可以都不改变），得到的新数列称为数列的一个生成数列，如仅改变数列、、、、的第二、三项的符号，可以得到一个生成数列：、、、、.已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和.
（1）写出的所有可能的值；
（2）若生成数列的通项公式为，求；
（3）用数学归纳法证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为.

4 . 在数列中，，，．
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）证明不等式，对任意皆成立．

5 .
已知数列的首项．
（1）求证：数列为等比数列；
（2） 记，若，求最大正整数．

6 . 已知数列中，.
（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值.

7 . 一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程.

（1）若点为抛物线（）准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.
（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；
（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.

8 . 正数列{}的前n项和S_n满足：2＝﹣1，＝a＞0．
（1）求证：﹣是一个定值；
（2）若数列{}是一个单调递增数列，求a的取值范围；
（3）若是一个整数，求符合条件的自然数a．

9 . 已知直角的三边长，满足
（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；
（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；
（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.