1 . 已知函数，

(1)直接写出时，的最小值.
(2)时，在是否存在零点？给出结论并证明.
(3)若，存在两个零点，求的取值范围.

2 . 已知实数满足且，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．若，则的最小值为

C．的最大值为

D．若，则的最小值为

3 . 已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.

4 . 在中，，若空间点满足，则的最小值为___________；直线与平面所成角的正切的最大值是___________.

5 . 如图，双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为.

(1)求双曲线的方程；
(2)若为垂直于轴的动弦，点，直线与交于点.
（i）求证：点恒在双曲线上；
（ii）若和在双曲线的同一支上，请直接写出面积的最小值，无需书写过程.

6 . 近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.

7 . 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，其中点A在x轴上方，O为坐标原点，则（　　）

A．∠AOB一定为钝角

B．若，则直线AB的斜率为

C．若点M在x轴上点F右侧，，，则

D．的最小值为

8 . 在中，，，，为线段上的动点（不包括端点），且，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（       ）

A．矩形的面积有最大值	B．的周长为定值
C．的面积有最大值	D．线段有最大值

10 . 已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.