1 . 已知正方体.

(1)若正方体的棱长为1，求点到平面的距离；
(2)在一个棱长为10的密封正方体盒子中，放一个半径为1的小球，任意摇动盒子，求小球在盒子中不能达到的空间的体积；
(3)在空间里，是否存在一个正方体，它的定点到某个平面的距离恰好为0、1、2、3、4、5、6、7，若存在，求出正方体的棱长，若不存在，说明理由.

2 . 把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1∶3∶4，其中最小球的半径为________．

3 . 假设半径为r的圆的面积为，我们用下面的方法推出圆的周长公式．

如图，设h是一个正数，考查半径分别为r和的两个同心圆所围成的圆环（图中阴影区域）．这个圆环的面积为
．
可以看出，，其中是以小圆周长为长、h为宽的矩形的面积，是以大圆周长为长、h为宽的矩形的面积．
所以有，即．
如果h越来越小（趋于0），那么大圆的周长C趋近于小圆的周长c，且趋于0，因此我们得到
，
从而．
用类似的方法证明：假设半径为R的球的体积为，那么球的表面积为．

4 . 如果钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，它的体积增加约几分之几？

5 . 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把如图补充完整并写出球的体积公式的证明.

6 . 阿基米德在他的许许多多的科学发现当中，最为得意的一个发现是：如图所示，圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的．请你试着证明．

7 . 已知四面体的一个平面展开图如图所示，其中四边形是边长为的菱形，分别为中点，，则在该四面体中（       ）

A．所成角余弦值为

B．

C．四面体外接球的体积为

D．四面体ABCD内切球的表面积为

8 . 某建筑公司在挖掘地基时，出土了一件文物，该文物外面是红色透明蓝田玉，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面边界（如图）由半椭圆与半椭圆组成，其中，.设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是轴截面边界与，轴的交点，阴影部分是宝珠轴截面，已知宝珠的体积是，，在宝珠珠面上，为等边三角形，给出以下四个命题：①的离心率是；②的离心率大于的离心率；③的焦点在轴上；④的长、短轴的比值大于的长、短轴的比值，其中真命题的个数是（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

9 . 半径为2cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（       ）

A．100

B．400

C．100

D．400

10 . 由一块实心的半球体铝块，已知该半球的球半径为6.
（1）求该半球体的表面积；
（2）现在该铝块熔化，浇灌在一个底面直径为8的圆柱体模具中，则求铸造出得圆柱高度.