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解题方法
1 . 已知正三棱锥
的外接球为球
，点
为
的中点，过点作球
的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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7日内更新
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183次组卷
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2卷引用：山东省曹县第一中学等2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题
2 . 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体
的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．勒洛四面体被平面 截得的截面面积是 |
B．勒洛四面体内切球的半径是 |
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 |
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 |
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3 . 如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是
，则（ ）
，则（ ）
A．这两个球体的半径之和的最大值为 |
B．这两个球体的半径之和的最大值为 |
C．这两个球体的表面积之和的最大值为 |
D．这两个球体的表面积之和的最大值为 |
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4 . 《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，
是
的中点，过
三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：
①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形
③二面角
的正切值为
④三棱锥
的外接球的表面积为
其中正确结论的个数是（ ）
是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：①过
三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形
③二面角
的正切值为④三棱锥
的外接球的表面积为其中正确结论的个数是（ ）
| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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解题方法
5 . 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设
表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆
的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角
分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为
．
(2)若平面三角形ABC为直角三角形，
，设
．则：
①求证：
；
②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为
，
，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球O的面积．
表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为．
(2)若平面三角形ABC为直角三角形，
，设．则：①求证：
；②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为
，，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球O的面积．
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2024-07-03更新
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1422次组卷
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4卷引用：拔高点突破04 新情景、新定义下的立体几何问题（六大题型）-1
（已下线）拔高点突破04 新情景、新定义下的立体几何问题（六大题型）-1（已下线）专题4 立体几何中的新定义压轴大题（二）【讲】重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题单元测试B卷——第一章 空间向量与立体几何
解题方法
6 . 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥
中，侧面
是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面
平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为
，该四棱锥的体积为
，则
的值为（ ）
中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-06-17更新
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570次组卷
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2卷引用：江苏省宿迁市2024届高三下学期三模数学试题
7 . 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为
，面积为
的扇形，则下列论断正确的是（ ）
，面积为的扇形，则下列论断正确的是（ ）A．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 |
B．圆锥内部有一个圆柱，并使圆柱的一个底面落在圆锥的底面内，当圆柱的体积最大时，圆柱的高为 |
C．圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为 |
D．圆锥内部有一个正方体 ，并使底面落在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，正方体的表面上与点 距离为 的点的集合形成一条曲线，则这条曲线长度为 |
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名校
解题方法
8 . 如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则（ ）
中，为平面内一动点，则（ ）
A．若在线段 上，则 的最小值为 |
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为 |
C．若 与所成的角为 ，则点的轨迹为椭圆 |
D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线 所成角为 |
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2024-04-18更新
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2017次组卷
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3卷引用：江苏省扬州中学、盐城中学、淮阴中学、丹阳中学四校2023-2024学年高三下学期调研测试联考数学试卷
解题方法
9 . 已知三棱锥
的各顶点均在半径为2的球表面上，
，
，则三棱锥
的内切球半径为__________ ；若
，则三棱锥
体积的最大值为__________ ．
的各顶点均在半径为2的球表面上，，，则三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积的最大值为
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
10 . 正四棱锥
的外接球半径为R，内切球半径为r，求证：
的最小值为
．
的外接球半径为R，内切球半径为r，求证：的最小值为．
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