1 . 如图，四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点．

（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得四点共面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

2 . 如图，在长方体中，面与棱分别交于点，且均为中点．

（1）求证：面；
（2）若为的中点．上是否存在动点，使得面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，说明理由．

3 . 已知四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，且平面平面．

（1）求证：平面；
（2）若为中点，证明：在线段上存在点，使得∥平面，并求出此时三棱锥的体积．

4 . 在四棱锥中，，，和都是边长为2的等边三角形，设在底面的射影为.

(1)求证：是中点；
(2)证明：；
(3)求二面角的余弦值.

5 . 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA， PC的中点．

（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，记直线DF与平面ABC所成的角为 ，直线DF与直线BD所成的角为 ，二面角的大小为 ，求证： ．

6 . 如图所示，在多面体中，是边长为2的等边三角形，为的中点，．

（1）若平面平面，证明：；
（2）求证：；
（3）若，求点到平面的距离．

7 . 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；
(2)当，求异面直线与所成角．

8 . 如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.

   

(1)证明：直线平面；
(2)设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，.

9 . 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，．

(1)求证：；
(2)若直线PD与BC所成的角为，求四棱锥的体积．

10 . 如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点．

(1)求证：；
(2)若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．