1 . 的三个顶点坐标为，试证明是直角三角形.

2 . 如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点.
   
(1)试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
(2)求的长
(3)求证：.

3 . 如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，点M、N分别是AA₁、A₁C₁的中点，点P在棱A₁B₁上，且A₁P=3PB₁，Q为BP的中点，

(1)求证：；
(2)求MN与BP所成角的余弦值；
(3)求NQ的长.

4 . 如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．

(1)若为中点，求证：；
(2)若平面，求线段长度的最小值．

5 . 光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抺一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱中，，现经过作与底面所成角为的截面，且截面与，分别交于不同的两点， .

(1)求证：平面；
(2)当和分别为和的中点时，需要在线段上寻找一个点，用纳米纤维导管连接，使得与所在直线的夹角最小，试求出纤维导管的长.

6 . 如图，在棱长为a的正方体中，M为的中点，E为与的交点，F为与的交点.

(1)求证：，.
(2)求证：是异面直线与的公垂线段.
(3)求异面直线与的距离.

7 . 已知的三个顶点分别为，，．求证：是直角三角形．

8 . 在边长是2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA₁D₁D；
（3）证明：EF⊥平面A₁CD．

9 . 在多面体中，正方形和矩形互相垂直，､分别是和的中点，.

（1）求证：平面.
（2）试问在边所在的直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

10 . 如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点.

（1）求证：，；
（2）求的长；
（3）求异面直线与夹角的余弦值.