1 . 如图，在三棱锥中，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成的角的大小；
(3)求点到重心的距离.

2 . 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.

   

(1)求证：；
(2)求线段的长.

3 . 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，.

(1)证明：；
(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；
(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.

4 . 如图，是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点．

（1）设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；
（2）若点到平面的距离为，求二面角；
（3）在（2）的条件下，若平面内存在点满足到直线的距离与到直线的距离相等，求的最小值．

5 . 已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点.

(1)设与底面所成角的大小为异面直线与所成角的大小为求证:
(2)若点C到平面的距离为求正四棱柱的高；
(3)在(2)的条件下，若平面内存在点P满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值.