1 . 在棱长为1的正方体中，分别是，的中点.
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长.

2 . 如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.
   
(1)若P是的中点，证明：；
(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.

4 . 如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作

(1)求证：向量为平面OAB的法向量；
(2)若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小；
(3)将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）

5 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，，E为PB中点．

(1)求证：PD//平面ACE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

6 . 如图，四棱锥S­-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．

（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．