1 . 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为.

   

(1)已知直线过曲面上一点，以为方向向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
(2)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.

2 . 如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：

   

(1)；
(2)．

3 . 已知非零向量，分别有，是否一定存在非零实数，使得？为什么？

4 . 如图①，在矩形中，分别为的中点，现将矩形沿折至的位置，使得平面平面，分别为的中点，如图②所示．
   
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，已知，，，，．证明：.
   

6 . 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：
   
(1)直线的一个方向向量；
(2)点到平面的距离．

7 . 已知.
(1)写出直线的一个方向向量；
(2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式.

8 . 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．

9 . 如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面．

10 . 已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点.

(1)求直线的一个方向向量；
(2)证明：平面.