1 . 已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2，过点且斜率为1的直线与椭圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若，．证明：为定值．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线l与椭圆C交于A、B两点，且
（1）求椭圆C的方程；
（2）若A、B两点关于原点O的对称点分别为，且，判断四边形是否存在内切的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆:()的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右顶点，坐标原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程.
（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知在平面直角坐标系中，（），（），的周长为，设顶点的轨迹为，若直线与轴交于点，与曲线交于，两点.
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）若，求实数的值.

5 . 在平面直角坐标系中，四个点，，，中有3个点在椭圆：上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，，证明：存在常数使得，并求出的值.

6 . 设椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆C的离心率为，的周长为8.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程及的大小.

8 . 已知平面内点到点的距离和到直线的距离之比为，若动点P的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）过F的直线与C交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点.证明：．

9 . 已知离心率为的椭圆C：（a>b>0）的左焦点为，过作长轴的垂线交椭圆于、两点，且.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）设O为原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.

10 . 设相互垂直的直线，分别过椭圆的左、右焦点，，且与椭圆的交点分别为、和、.
（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；
（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.