1 . 已知双曲线，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点．
(1)若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形的面积为定值；
(2)若，D为垂足，求点D的轨迹的长度．

2 . 已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．

4 . 在平面直角坐标系中，已知动圆经过定点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，、的斜率分别为，，且满足，的面积为8，求直线的方程．

5 . 已知椭圆的离心率，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．

6 . 设定点，动圆过点且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，当时，的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点，过两点分别作定直线的垂线，垂足分别为，求为定值.

8 . 已知为抛物线的焦点，为圆上任意点，且最大值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若在抛物线上，过作圆的两条切线交抛物线于、，求中点的纵坐标的取值范围.

9 . 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，△AF₂B的周长为8，
（1）求该椭圆C的方程．
（2）设P为椭圆C的右顶点，Q为椭圆C与y轴正半轴的交点，若直线l：yx+m，（﹣1＜m＜1）与圆C交于M，N两点，求P、M、Q、N四点组成的四边形面积S的取值范围．

10 . 已知F₁，F₂分别为椭圆C：的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F₁的最大距离等于4，离心率等于，过左焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，圆E内切于三角形F₂MN；
（1）求椭圆的标准方程
（2）求圆E半径的最大值