1 . 已知点
，
，动点
满足直线
与
的斜率之积为
，记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线于
，
两点，点在第一象限，
轴，垂足为
，连结
并延长交曲线于点
.
（ⅰ）证明：直线
与
的斜率之积为定值；
（ⅱ）求
面积的最大值.
，，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程，并说明是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交曲线
于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.（ⅰ）证明：直线
与的斜率之积为定值；（ⅱ）求
面积的最大值.
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2023-09-01更新
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625次组卷
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4卷引用：辽宁省沈阳市东北育才双语学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题内蒙古包头市2023-2024学年高三上学期调研考试理科数学试题（已下线）重难点突破09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究（四大题型）（已下线）模型2 圆锥曲线中的斜率模型（高中数学模型大归纳）
名校
解题方法
2 . 已知，分别是椭圆：
的左，右顶点，
为椭圆上的点，直线
，
的斜率之积为
．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线
与椭圆交于
，
两点，且直线
与
相交于点，若点在直线
上，证明：直线过定点．
，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为．(1)求椭圆
的方程；(2)直线
与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点．
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2023-12-14更新
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144次组卷
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5卷引用：河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期期中数学试题
3 . 已知离心率为
的双曲线
与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点
，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．
(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：直线
与直线的斜率乘积为定值；
(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由．
的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：直线
与直线的斜率乘积为定值；(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由．
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名校
解题方法
4 . 已知双曲线
的实轴长为4，离心率为
．过点
的直线l与双曲线C交于A，B两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点
，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．
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2023-10-19更新
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1199次组卷
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6卷引用：四川省眉山市仁寿县第一中学2023-2024学年高二上学期期末模拟考试数学试题
四川省眉山市仁寿县第一中学2023-2024学年高二上学期期末模拟考试数学试题（已下线）专题25 双曲线的简单几何性质9种常见考法归类（2）（已下线）专题12 双曲线的几何性质8种常见考法归类（3）江西省南昌市江西师范大学附属中学2024届高三上学期数学素养测试试题（已下线）考点16 解析几何中的定值问题 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）考点19 解析几何中的探索性问题 2024届高考数学考点总动员
5 . 椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线
．
关于x轴的对称点记为
．C在点
处的切线是指曲线
在点P处的切线．定义“
”运算满足：①若
，且直线PQ与C有第三个交点R，则
；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则
；③若，规定
，且
．
(1)当
时，讨论函数
零点的个数；
(2)已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：
；
(3)已知
，且直线PQ与C有第三个交点，求
的坐标．
参考公式：
椭圆曲线
．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且．(1)当
时，讨论函数零点的个数；(2)已知“
”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：；(3)已知
，且直线PQ与C有第三个交点，求的坐标．参考公式：
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2023-02-23更新
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5200次组卷
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14卷引用：北京市第五十七中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题
北京市第五十七中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省高三下学期2月适应性测试数学试题2023年安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省联考数学试卷评价（已下线）2023年四省联考变试题17-22云南省2023届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学试题山西省大同市2023届高三阶段性模拟（2月联考）数学试题（A卷）（已下线）专题19新文化与创新试题（已下线）专题05导数及其应用（解答题）山西省大同市第一中学校等2校2023届高三一模理科数学试题（已下线）江西省九师联盟2024届高三上学期10月联考数学试题（已下线）专题15 圆锥曲线综合（已下线）函数的图象与性质（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大题型）（练习）
6 . 已知椭圆C：
，
，
为椭圆C的左、右顶点，
，
为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点.
(1)求直线
和
的斜率之积；
(2)直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点），直线
与直线
的斜率分别是
，
且
，直线
和直线
交于点
.
①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明：
为定值，并求出该定值.
，，为椭圆C的左、右顶点，，为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点.(1)求直线
和的斜率之积；(2)直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点
），直线与直线的斜率分别是，且，直线和直线交于点.①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明：
为定值，并求出该定值.
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2023-02-15更新
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794次组卷
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4卷引用：湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
解题方法
7 . 已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，为椭圆上一点，
面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线
与椭圆相交于
两点，若
轴，垂足为
.求证：直线
的斜率
；
(3)为椭圆的右顶点，若过点
且斜率不为0的直线交椭圆于
两点，
为坐标原点.问：
轴上是否存在定点
，使得
恒成立.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
与双曲线有相同的焦点，为椭圆上一点，面积最大值为.(1)求椭圆
的方程；(2)直线
与椭圆相交于两点，若轴，垂足为.求证：直线的斜率；(3)
为椭圆的右顶点，若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，为坐标原点.问：轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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2023-07-06更新
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735次组卷
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5卷引用：四川省遂宁市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题
解题方法
8 . 已知椭圆
的焦距为2，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)、分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，过椭圆的左焦点
作直线交椭圆于、两点，与
轴交于点.
①若点
是线段
的中点，求点的轨迹方程；
②设直线
与直线
交于点，求证：
为定值.
的焦距为2，且过点. (1)求椭圆
的标准方程；(2)
、分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点，与轴交于点.①若点
是线段的中点，求点的轨迹方程；②设直线
与直线交于点，求证：为定值.
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2023-06-20更新
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379次组卷
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2卷引用：上海市宝山区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . 已知椭圆
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过
，直线
与椭圆E交于A、B．
(2)设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：
；
(3)直线
是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义
为椭圆E的弦切角，
为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角
的关系，并证明你的论．
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．
(2)设直线TA、TB的斜率分别为
，，证明：；(3)直线
是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．
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2023-04-05更新
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641次组卷
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5卷引用：四川省射洪中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题
2023·浙江·模拟预测
解题方法
10 . 已知是双曲线
的左焦点，点
在双曲线上且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是双曲线在第二象限内的动点，
，记
的内角平分线所在直线斜率为
，直线
斜率为,求证：
是定值.
是双曲线的左焦点，点在双曲线上且双曲线的离心率为2.(1)求双曲线的标准方程；
(2)若
是双曲线在第二象限内的动点，，记的内角平分线所在直线斜率为，直线斜率为,求证：是定值.
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