1 . 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为．
(1)求四边形的外接圆方程；
(2)设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.
   
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的情况下，求的最大值.

3 . 已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．
(1)求圆M的方程；
(2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值．

4 . 已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．

5 . 已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆C的方程；
(2)若、在圆上，直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．

6 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，．圆的圆心是抛物线上的动点，圆与轴交于两点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明:无论点运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点．

7 . 证明双曲线的一条切线与两条渐近线的交点与该双曲线的两个焦点四点共圆．

8 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.

9 . 已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.

10 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，设，是椭圆上的任意一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率存在，并记为、.

(1)若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；
(2)若，
①求证：；
②试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．