1 . 如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：，过点且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点.

（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；
（2）设直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值；
（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由.

2 . 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，.原点在圆内.

（1）求证：.
（2）设交轴于点，交轴于点.求证：.

3 . 在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.
（1）若圆分别与轴、轴交于点、（不同于原点），求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；
（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线、与圆的另一个交点分别为、，求证：直线过定点.

4 . 已知圆，点在抛物线上，为坐标原点，直线与圆有公共点.

（1）求点横坐标的取值范围；
（2）如图，当直线过圆心时，过点作抛物线的切线交轴于点，过点引直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线分别与直线交于，求证：为中点.

5 . 已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．
（1）若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；
（2）若直线，与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；
（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

6 . 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点的坐标为.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）过点任作一条直线与圆交于不同两点，，且圆交轴正半轴于点，求证：直线与的斜率之和为定值.

7 . 已知圆C过点，且与圆外切于点，是x轴上的一个动点．
求圆C的标准方程；
当圆C上存在点Q，使，求实数m的取值范围；
当时，过P作直线PA，PB与圆C分别交于异于点P的点A，B两点，且求证：直线AB恒过定点．

8 . 已知点R为曲线上任意一点，定点满足，过点分别作斜率为，的曲线的动弦AB，CD，设P，Q分别为线段AB，CD的中点．
求曲线的方程；
当线段AB长度最小时，求；
若，求证直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．

9 . 已知过点A（0，4），且斜率为的直线与圆C：，相交于不同两点M、N.
（1）求实数的取值范围；       
（2）求证：为定值；
（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求的值，若不存在，说明理由．

10 . 如图在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，且圆C与y轴交于M,N两点（点N在点M的上方），直线与圆C交于A，B两点．
(1)若，求实数k的值．
(2)设直线AM，直线BN的斜率分别为，若存在常数使得恒成立？若存在，求出a的值.若不存在请说明理由．
(3)若直线AM与直线BN相较于点P，求证点P在一条定直线上．