1 . 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点．
（i）求证：点轨迹方程为；
（ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．

2 . 如图：已知三点、、都在椭圆上．

(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；
(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．

3 . 已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设圆心的轨迹为
(1)求的方程
(2)若直线过点，且与交于两点
①若直线与轴交于点，满足，试探究与的关系；
②过点分别作曲线的切线相交于点，求面积的最小值.

4 . 已知点在双曲线的图像上．

(1)若点为双曲线上一动点，点为直角坐标系内一定点，求中点的轨迹方程；
(2)是否存在这样的双曲线，它与双曲线有相同的渐近线，且点到上的动点的最小值为？若存在，请求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆，过外一点作的两条切线，分别交轴于两点.
(1)记的倾斜角分别为.若，求的轨迹方程.
(2)求面积的最小值.

7 . 在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值.

8 . 在中，的对边分别为（其中为定值），以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系（如图），请你给出适当的条件，求出顶点的轨迹方程．
   

9 . 在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 .
(1)填空：(直接写出结论)
①若， 则            ；
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是             ；
③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为          ；
(2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标；
(3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件：
①；
②
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由.

10 . 已知定点，，动点M满足.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设，过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．
（i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
（ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．