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解题方法
1 . 已知椭圆C：
（
），
，
，
，
四点中恰有三点在椭圆
上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点
且斜率为1的直线
交椭圆于
，
两点，点
为直线
上任意一点，求证：直线
，
，
的斜率成等差数列．
（），，，，四点中恰有三点在椭圆上．(1)求椭圆
的标准方程；(2)过右焦点
且斜率为1的直线交椭圆于，两点，点为直线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列．
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2 . 在数学教科书《选择性必修第一册》中，有一段对圆锥曲线统一定义的描述．其中提到：设椭圆的一个焦点为
，长半轴长为
，则一点
在椭圆上当且仅当
．由于圆不在考虑范围内，
，上式经变形化为等价条件
，其中
是椭圆的离心率，我们还把直线
称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率
的点的轨迹，其中离心率满足
．阅读以上文字，并回答以下问题：设椭圆
恒过定点
，则椭圆的中心到准线的距离的最小值______ ．
，长半轴长为，则一点在椭圆上当且仅当．由于圆不在考虑范围内，，上式经变形化为等价条件，其中是椭圆的离心率，我们还把直线称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率的点的轨迹，其中离心率满足．阅读以上文字，并回答以下问题：设椭圆恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值
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3 . 已知椭圆
的左顶点为
，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点
且与
轴不重合的直线与椭圆交于
两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点且平行于
的直线交直线
于点
，求证：直线
恒过定点.
的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆
的方程；(2)若过点
且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点.
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解题方法
4 . 如图，平面四边形
中，
，
.若
是椭圆
和双曲线
的两个公共焦点，
是与的两个交点，则与的离心率之积为（ ）
中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（ ）
A． | B． | C．2 | D．3 |
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2024-05-01更新
|
735次组卷
|
2卷引用：广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
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解题方法
5 . 已知椭圆
经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________ .
经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为
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解题方法
6 . 已知
分别是椭圆
的左、右顶点，
为坐标原点，
，点
在椭圆上.过点
的直线交椭圆于、两个不同的点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点
落在以线段
为直径的圆的外部，求直线的斜率
的取值范围；
(3)当直线的倾斜角
为锐角时，设直线、
分别交
轴于点
，记
，
，求
的取值范围.
分别是椭圆的左、右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上.过点的直线交椭圆于、两个不同的点.(1)求椭圆
的标准方程；(2)若点
落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；(3)当直线
的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围.
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7 . 在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆
的蒙日圆的面积为
，该椭圆的上顶点和下顶点分别为
，且
，设过点
的直线
与椭圆
交于两点（不与两点重合）且直线
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：
的交点的纵坐标为定值；
(3)求直线
围成的三角形面积的最小值．
的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线．(1)求椭圆
的标准方程；(2)证明：
的交点的纵坐标为定值；(3)求直线
围成的三角形面积的最小值．
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8 . 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．
为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米）
(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米）
以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式
．
②柱体的体积为底面积乘以高，
，
．
为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米）(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高
和拱宽?（结果精确到0.1米）以下结论可以直接使用：①椭圆
的面积公式．②柱体的体积为底面积乘以高，
，．
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9 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，直线
与椭圆交于
两点(点在点的上方)，与轴交于点.
(1)当
时，点
为椭圆上除顶点外任一点，求
的周长;
(2)当
且直线过点
时，设
，求证:为定值，并求出该值;
(3)若椭圆的离心率为
，当为何值时，
恒为定值;并求此时
面积的最大值.
的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点.(1)当
时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长;(2)当
且直线过点时，设，求证:为定值，并求出该值;(3)若椭圆
的离心率为，当为何值时，恒为定值;并求此时面积的最大值.
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10 . 在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点
的直线与交于，两点，
，
，设直线
，
，
的斜率分别为
，
，
．证明：
为定值．
中，已知点，，，记的轨迹为．(1)求
的方程；(2)过点
的直线与交于，两点，，，设直线，，的斜率分别为，，．证明：为定值．
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