1 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

2 . 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点．求证：为定值．

3 . 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的其中一个焦点在抛物线的准线上，并且椭圆的左顶点到左焦点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)一条直线与椭圆C分别交于A，B两点，且，试问点O到直线AB的距离是否为定值，并证明你的结论.

4 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为4，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆的右顶点为，左焦点为.
（1）求的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线、，直线交于、两点，直线交圆于、两点，为的中点，求的面积的取值范围.

6 . 在平面直角坐标系中，已知，直线：，点为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设，过且与轴不重合的直线与曲线相交于不同的两点，.若的面积取得最大值时，求的内切圆的面积.

7 . 在平面直角坐标系中，已知，直线：，点为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设，过且与轴不重合的直线与曲线相交于不同的两点，.则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.

8 . 知椭圆的焦点在轴上，并且经过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线与圆相切于点，与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求面积的最大值，并求此时点的坐标．

9 . 已知椭圆：，点在曲线上，短轴下顶点为，且短轴长为2.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆的另一交点为，且与所成的夹角为，求的面积.

10 . 设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作的平行线交于点E.
（1）证明：为定值，并求出点E的轨迹方程；
（2）若M，N是点E的轨迹上的动点，且直线过点，问在y轴上是否存在定点Q，使得？O为坐标原点，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.