1 . 已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点，为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（1）若，，求曲线的方程；
（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，，求面积的最大值.

2 . 已知、分别是双曲线：的左右焦点，过的直线l与双曲线左右两支分别交于P、Q两点，且，则__________.

3 . 已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为__________

4 . 已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为______.

5 . 设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点.

（1）求点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，的取值范围.

6 . 双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，， 与的交点为，求点的轨迹方程.

7 . 已知点P为双曲线心（，）右支上一点，点、分别为双曲线的左右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的渐近线方程是________________．

8 . 已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值；
（3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：．

9 . 下列四个选项中正确的是（       ）

A．关于的方程()的曲线是圆

B．设复数是两个不同的复数，实数，则关于复数的方程的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆

C．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支

D．双曲线与椭圆有相同的焦点

10 . 已知点，点是双曲线上的点，点是点关于原点的对称点，则的取值范围是________.