1 . 已知抛物线：的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求证：为定值．

2 . 已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点M，N在C上，且，证明：直线MN过定点．

3 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.

4 . 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的焦点，且与相交于两点，直线交的准线于点.
(1)若，求直线的方程；
(2)证明：直线平行于轴.

5 . 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．

6 . 设抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线与抛物线C交于A，B两点，若，求证：线段AB的垂直平分线过定点．

7 . 已知抛物线上的点到焦点的距离为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．

8 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．

9 . 已知是椭圆的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上的一点，且满足，过点P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．

(1)求点P的坐标；
(2)求证：直线AB的斜率为定值．

10 . 已知椭圆的短轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．