名校
1 . 如图，在四棱锥
中，PA
面ABCD，AB
CD，且CD=2，AB=1，BC=
，PA=1，ABBC，N为PD的中点．
(1)求证：AN平面PBC；
(2)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是
？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由；
(3)在平面PBC内是否存在点H，满足
，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状（不必证明）．
中，PA面ABCD，ABCD，且CD=2，AB=1，BC=，PA=1，ABBC，N为PD的中点．(1)求证：AN
平面PBC；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是
？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；(3)在平面PBC内是否存在点H，满足
，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状（不必证明）．
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2022-11-18更新
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819次组卷
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3卷引用：第三章 空间轨迹问题 专题一 立体几何轨迹常见结论及常见解法 微点3 立体几何轨迹常见结论及常见解法综合训练【培优版】
（已下线）第三章 空间轨迹问题 专题一 立体几何轨迹常见结论及常见解法 微点3 立体几何轨迹常见结论及常见解法综合训练【培优版】福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
名校
解题方法
2 . 在平面直角坐标系
中，对于直线
和点
、
，记
，若
，则称点
、
被直线
分隔，若曲线
与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
(1)判断点
是否被直线
分隔并证明；
(2)若直线
是曲线
的分隔线，求实数
的取值范围；
(3)动点
到点
的距离与到
轴的距离之积为
，设点的轨迹为曲线
，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线．
中，对于直线和点、，记，若，则称点、被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．(1)判断点
是否被直线分隔并证明；(2)若直线
是曲线的分隔线，求实数的取值范围；(3)动点
到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线．
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3 . 如图所示，定点
到定直线的距离
.动点
到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线
.
（1）请以线段
所在的直线为
轴，以线段上的某一点为坐标原点
，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；
（2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.
（3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线
交曲线于
，
两点，求证：
.
到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线.（1）请以线段
所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；（2）请指出（1）中的曲线
的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.（3）设（1）中的曲线
除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于，两点，求证：.
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2021-01-15更新
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390次组卷
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3卷引用：课时34 曲线和方程-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）
解题方法
4 . 已知长方体
中，底面ABCD为正方形，
，
，点
在棱
上，且
．
(1)在棱CD上确定一点E，使得直线
平面
，并写出证明过程；
(2)求证：平面
平面；
(3)若动点F在正方形ABCD内，且
，请说明点F的轨迹，试求
长度的最小值．
中，底面ABCD为正方形，，，点在棱上，且．
(1)在棱CD上确定一点E，使得直线
平面，并写出证明过程；(2)求证：平面
平面；(3)若动点F在正方形ABCD内，且
，请说明点F的轨迹，试求长度的最小值．
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名校
解题方法
5 . 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）
的方程，若曲面和三元方程
之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解
为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为
.过曲面上一点
，以
为方向向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
(2)已知曲面可视为平面
中某双曲线的一支绕
轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线
在曲面上，且过点
，求异面直线与所成角的余弦值.
的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为.
过曲面上一点，以为方向向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；(2)已知曲面
可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.
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名校
解题方法
6 . 已知点
，动点
到直线l：
的距离为d，且
，记S的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若
，
分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线
上，且
.连接
，
分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.
，动点到直线l：的距离为d，且，记S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；
(2)若
，分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线上，且.连接，分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.
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名校
解题方法
7 . 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程
之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解
为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为．的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；
(2)已知直线过曲面上一点
，以
为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
(3)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点
，求异面直线与所成角的余弦值．
的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为．
的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；(2)已知直线
过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；(3)已知曲面
可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
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8 . 已知A是圆E：
上的任意一点，点
，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T．
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)已知点
，过点
的直线l与C交于M，N两点，求证：
．
上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T．(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)已知点
，过点的直线l与C交于M，N两点，求证：．
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解题方法
9 . 已知点P在圆
上，过点P作x轴的垂线段
，D为垂足，Q为线段的中点，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程；
(2)设
，
，过点
作直线与Γ交于不同的两点M，N（异于A，B），直线
，
的交点为G.
（ⅰ）证明：点G在一条平行于x轴的直线上；
（ⅱ）设直线
，
交点为H，试问：
与
的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
上，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，Q为线段的中点，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；
(2)设
，，过点作直线与Γ交于不同的两点M，N（异于A，B），直线，的交点为G.（ⅰ）证明：点G在一条平行于x轴的直线上；
（ⅱ）设直线
，交点为H，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
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10 . 已知动点在上，过作轴的垂线，垂足为
，若
为
中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)过
作直线交的轨迹于、
两点，并且交轴于点．若
，
，求证：
为定值．
在上，过作轴的垂线，垂足为，若为中点．(1)求点
的轨迹方程；(2)过
作直线交的轨迹于、两点，并且交轴于点．若，，求证：为定值．
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2023-12-28更新
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1639次组卷
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6卷引用：高二上学期期末考点大通关真题精选100题（3）
（已下线）高二上学期期末考点大通关真题精选100题（3）河北省保定市部分重点高中2024届高三上学期12月期末数学试题2024届河北省高三上学期大数据应用调研联合测评(III)数学试题（已下线）每日一题 第13题 轨迹方程 精彩纷呈（2）（高二）广东省广州市真光中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷（五）
